2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)：2.4函数的奇偶性与周期性

知识能否忆起一、函数的奇偶性,f(x)f(x),f(x)f(x),y轴,原点,二、周期性1周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期,2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个，那么这个就叫做f(x)的最小正周期,f(xT)f(x),最小的,正数,最小正数,小题能否全取1(2012广东高考)下列函数为偶函数的是(),答案：D,答案：B,2已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是(),答案：B,3(教材习题改编)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x)，则f(8)的值为()A1B0C1D2解析：f(x)为奇函数且f(x4)f(x)f(0)0，T4.f(8)f(0)0.,5定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是以2为周期的周期函数，则f(1)f(4)f(7)_.解析：据题意f(7)f(18)f(1)，f(1)f(7)0，又f(4)f(0)0，f(1)f(4)f(7)0.答案：0,1.奇、偶函数的有关性质：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；(3)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0；,(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反2若函数满足f(xT)f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(nZ且n0)也是函数的周期,A是奇函数但不是偶函数B是偶函数但不是奇函数C既是奇函数也是偶函数D既不是偶函数也不是奇函数,答案A,利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；(2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(x)f(x)或f(x)f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)注意判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性,1判断下列函数的奇偶性,(2)f(x)的定义域为R，f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)为奇函数,(4)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(0)0，也满足f(x)f(x)故该函数为奇函数,A(2,0)(2，)B(，2)(0,2)C(，2)(2，)D(2,0)(0,2),例2(1)(2012上海高考)已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1.若g(x)f(x)2，则g(1)_.,自主解答(1)yf(x)x2是奇函数，且x1时，y2，当x1时，y2，即f(1)(1)22，得f(1)3，所以g(1)f(1)21.,答案(1)1(2)B,本例(2)的条件不变，若n2且nN*，试比较f(n)，f(1n)，f(n1)，f(n1)的大小解：f(x)为偶函数，所以f(n)f(n)，f(1n)f(n1)又函数yf(x)在(0，)为减函数，且0n1nn1，f(n1)f(n)f(n1)f(n1)f(n)f(n1)f(1n),函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数常常采用待定系数法：利用f(x)f(x)0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反,答案：（1）A（2）A,例3(2012山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2012)()A335B338C1678D2012,自主解答由f(x6)f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，所以在一个周期内有f(1)f(2)f(6)1210101，所以f(1)f(2)f(2012)f(1)f(2)335112335338.答案B,1周期性常用的结论：若f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)f(xa)f(x)，则T2a；,2周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用,3设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式,解：(1)证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数,(2)x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8.又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2,4,抽象函数是高中数学的难点，大多数同学感觉找不着头绪，对抽象函数的研究往往要通过函数的性质来体现，如函数的奇偶性、单调性和周期性利用赋值法将条件进行转化是解决抽象函数问题的重要策略下面从5个不同的方面来探寻一些做题的规律,1抽象函数的定义域抽象函数的定义域是根据已知函数的定义域，利用代换法得到不等式(组)进行求解,答案1,3),题后悟道函数yf(g(x)的定义域的求法，常常通过换元设tg(x)，根据函数yf(t)的定义域，得到g(x)的范围，从而解出x的范围在求函数的定义域时要兼顾函数的整体结构，使得分式、对数等都要有意义,典例2已知定义在R上的单调函数f(x)满足：存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2，总有f(x0 x1x0 x2)f(x0)f(x1)f(x2)恒成立求：(1)f(1)f(0)；(2)x0的值解(1)因为对于任意实数x1，x2，总有f(x0 x1x0 x2)f(x0)f(x1)f(x2)恒成立，令x11，x20，得f(x0)f(x0)f(0)f(1)，所以f(0)f(1)0.(2)令x10，x20，得f(0)f(x0)2f(0)，即f(x0)f(0)故f(x0)f(1)又因为f(x)是单调函数，所以x01.,2抽象函数的函数值,题后悟道抽象函数求函数值往往要用赋值法，需要结合已知条件，通过观察和多次尝试寻找有用的取值，挖掘出函数的性质，特别是借助函数的奇偶性和函数的周期性来转化解答3抽象函数的奇偶性函数的奇偶性就是要判断x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y轴对称，结合函数的图形作出进一步的判断,典例3已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f(0)0，求证：f(x)是偶函数证明取x0，y0，得2f(0)2f2(0)，因为f(0)0，所以f(0)1；再取x0，得f(y)f(y)2f(0)f(y)2f(y)所以f(y)f(y)，所以函数f(x)是偶函数题后悟道在利用奇偶函数的定义进行判断时，等式中如果还有其他的量未解决，例如本题中的f(0)，还需要令x，y取特殊值进行求解,4抽象函数的单调性与抽象不等式高考对于抽象函数的单调性的考查一直是个难点，常出现一些综合性问题，利用导数进行判断求解，并对所含的参数进行分类讨论或者根据已知条件确定出参数的范围，再根据单调性求解或证明抽象不等式问题(结合本节例2(2)学习)5抽象函数的周期性有许多抽象函数都具有周期性，特别是在求自变量值较大的函数值时，就要考虑寻找函数的周期，从而利用周期把函数值转化为已知求出,题后悟道判断抽象函数的周期性时，给一个变量赋值是关键，但由于函数的周期性还是函数的整体性质，因此另一个变量必须具有任意性从以上几种类型来看，解答抽象函数问题并不是无计可施，只要我们善于观察、分析、掌握解题规律，注重数形结合把抽象问题形象化、具体化，就可以做到化难为易、迎刃而解了,答案：B,2已知x，yR，对任意x，y恒有f(xy)f(x)f(y)成立证明f(x)是奇函数证明：令xy0，则f(0)f(0)f(0)2f(0)，f(0)0，再令yx，则f(xx)f(x)f(x)，f(x)f(x)f(0)0.f(x)f(x)又x是任意实数，f(x)是奇函数,3函数f(x)对任意的a、bR，都有f(ab)f(a)f(b)1，且f(x)为增函数，f(4)5，(1)求f(2)；(2)解不等式f(3m2m2)3.,教师备选题（给有能力的学生加餐）,1(2012北京海淀区期末)已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1,1)Df(x)是奇函数，递增区间是(，0),解题训练要高效见“课时跟踪检测（七）”,答案：C,2(2012宝鸡模拟)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图像在区间0,6上与x轴的交点的个数为()A6B7C8D9,解析：因为当0x2时，f(x)x3x，所以f(0)0.又因为f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，所以f(6)f(4)f(2)f(0)0.又因为f