2013年高考（文数）广东

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学（文科）第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的设集合，则（ ）. A B C D分析 先确定两个集合的元素，再进行交集运算.解析 集合，故，故选A.函数的定义域是（ ）.A. B. C. D. 分析 从函数有意义的角度分析求解.解析 要使函数有意义，需解得，故函数的定义域为， 故选C.若则复数的模是（ ）. A B C D分析 先求出，再求模.解析 方法一：因为，所以，故，故选D.方法二：因为，所以，所以，故，故选D.方法三：因为，所以，即，故，故选D.已知，那么（ ）. A B C D 分析 利用诱导公式化简已知条件即可.解析 ，故，故选C.执行如图1所示的程序框图，若输入的值为，则输入的值是（ ）.是否输入输出结束开始第5题图 A B C D 分析 根据初始化条件，顺次执行程序就可以得出结果.解析 第一步执行循环：；第二步运执行 循环：； 第三步执行循环：，结束循环， 故输出的，故选C.某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是（ ）. A B C D 分析 由三视图还原出直观图，根据“长对正，高平齐，宽相等”寻找 出此三棱锥的相关数据，代入棱锥的体积公式进行计算.解析 如图所示，三棱锥的底面是一个直角边长为的等腰直角三角形， 有一条侧棱和底面垂直，且其长度为，故三棱锥的高为， 故其体积，故选B. 垂直于直线且与圆相切第象限的直线方程是（ ）.A B C D分析 利用待定系数法设出直线方程，利用直线与圆相切确定参数值，利用数形结合对所求参数值进行取舍.解析 与直线垂直的直线方程可设为，由与圆相 切，可得，故.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知，故直线方程为，故选A.设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）.A若，则 B若，则C若，则 D若，则分析 利用相应的判定定理或性质定理进行判断，可以参考教室内存在的线面关系辅助分析.解析 选项A，若，则和可能平行也可能相交，故错误；选项B，若，则，故正确；选项C，若，则，故错误；选项D，若，则与的位置关系有三种可能：，故错误. 故选B.已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（ ）.A B C D分析 要求椭圆的标准方程，只需确定焦点位置和参数的值.解析 右焦点为说明两层含义：椭圆的焦点在轴上；.又离心率为， 故，故椭圆的方程为.故选D.设是已知的平面向量且关于向量的分解，有如下四个命题： 给定向量，总存在向量，使； 给定向量和，总存在实数和，使；给定向量和正数，总存在单位向量，使.给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使.上述命题中的向量，和，在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ）. A B C D 分析 利用向量的平行四边形法则或三角形法则、平面向量基本定理进行判断.解析 对于，若向量确定，因为是确定的，故总存在向量，满足，即，故正确；对于，因为和不共线，由平面向量基本定理知，总存在唯一的一对实数，满足，故正确；对于，如果，则以为三边长可以构成一个三角形，如果和正数确定，则一定存在单位向量和实数满足，故正确；对于，如果给定的正数和不能满足“为三边长可以构成一个三角形”这 时单位向量和就不存在，故错误.故选C.第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分，答案须填在题中横线上设数列是首项为，公比为的等比数列，则 分析 由首项和公比写出等比数列的前项，然后代入代数式求值.也可以构造新数列，利用其前项和公式求解.解析 方法一：. 方法二：因为，数列是首项为，公比为的等 比数列，故所求代数式的值为.若曲线在点处的切线平行于轴，则 分析 计算出函数在点处的导数，利用导数的几何意义求的值.解析 因为，所以.因为曲线在点处的切线平行于轴， 故其斜率为，故.已知变量，满足约束条件则的最大值是 分析 画出线性的约束条件表示的平面区域，用图解法求最值.解析 画出平面区域如图阴影部分所示，由，得，表示直线在轴上的截距，由图知，当直线经过点时，目标函数取得最大值，为.已知曲线的极坐标方程，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线的参数方程为 分析 先把极坐标方程化为普通方程，再把普通方程化为参数方程.化为普通方程，即，则其参数方程为（为参数），即（为参数）.如图3，在矩形中，垂足为，则= 分析 由题意可求的长及，故可把放在中，利用余弦定理求解.也可以从点出发辅助线，将放在直角三角形中进行求解. 解析 方法一：因为，所以，所以.在中，则.在中，.故.方法二：如图所示，作交于点，作交于点.因为，所以，则，. 在中，.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本小题满分12分） 已知函数， (1) 求的值； (2) 若，求分析 （1）把代入函数解析式，借助特殊角的三角函数值求.（2）由求出，利用两角差的余弦公式求.解析（1）因为，所以.（2）因为，所以.所以 .（本小题满分12分）从一批苹果中，随机抽取个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）频数（个） (1) 根据频数分布表计算苹果的重量在的频率； (2) 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取个，其中重量在的有几个？(3) 在(2)中抽出的个苹果中，任取个，求重量在和中各有的概率分析（1）由表格读出苹果重量在范围内的频数，代入频率公式计算.（2）根据分层抽样的特点由每层抽出的样本容量所成的比先计算抽样比，再计算从范围内抽出的苹果个数.（3）用列举法，分别列出基本事件总数和事件“重量在和中各有个苹果”包含的基本事件个数，利用古典概型概率公式计算结果.解析（1）根据频率数分布表，苹果重量在范围内的频数为，因为样本容量为，故所求频率为.（2）重量在和范围内的苹果频数之比为，又，故重量在内的苹果个数为.（3）从苹果重量在范围内抽出的苹果记为，从范围内抽出的苹果记为，则任取两个苹果的所有情况为，共个基本结果，记事件，其包含的基本事件个数为，故.（本小题满分14分） 如图所示，在边长为的等边三角形中，分别是，上的点， 是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图5所示的三棱锥，其中(1) 证明：； (2) 证明：；(3) 当时，求三棱锥的体积 分析（1）要证直线和平面平行，可证直线与该平面内的一条直线平行，也可证直线所在的平面与该平面平行.（2）要证直线和平面垂直，需要证明直线和该平面内的两条相交直线垂直. （3）要求三棱锥的体积，需要确定底面面积和高，然后代入棱锥的体积公式计算.解析（1）证法一：在折叠后的图形中，因为，所以，所以.因为，所以.证法二：在折叠前的图形中，因为，所以，所以，即，.在折叠后的图形中，仍有.又因为，所以，同理可证.所以，故.又，所以.（2）证明：在折叠前的图形中，因为为等边三角形，所以，则在折叠后的图形中，.又，所以，所以.又，所以.（3）由（1）知，则（2）知，又，所以，所以，即.在折叠前的图形中，.由知，又，所以，所以，所以. 故三棱锥的体积为.（本小题满分14分） 设各项均为正数的数列的前项和为，满足，,且构成等比数列(1) 证明：； (2) 求数列的通项公式；(3) 证明：对一切正整数，有分析（1）把代入递推式，可以得到和的关系式，变形可得 .（2）鉴于递推式含有的特点，常用公式进行化异为同，得到和的递推式，构造等差数列，进而求出数列的通项.（3）要证的不等式的左边是一个新数列的前项和，因此要求和、化简，因为是一个分式，常常通过裂项相消法逐项相消，然后再通过放缩，得出结论. 解析（1）证明：由，得，即，所以. 因为，所以.（2）因为， 所以当时， 由-得，即.因为，所以，即.因为成等比数列，所以，即，解得.又由（1）知，所以，所以.综上知，所以数列是首项为，公差为的等差数列.所以.所以数列的通项公式为.（3）证明：由（2）知，所以.（本小题满分12分） 已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为，设为直线上的点，过点做抛物线的两条切线，其中，为切点(1) 求抛物线的方程； (2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；(3) 当点在直线上移动时，求的最小值分析（1）由点到直线的距离公式，建立关于的方程，求出，进而写出抛物线的标准方程. （2）设出的坐标，利用导数的几何意义求出切线的斜率，写出切线的方程，通过构造方程，得到直线的方程.（3）因为和都是抛物线上的点到焦点的距离，故可以利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，要求的最小值，需要建立关于的目标函数，然后求该函数的最小值.解析（1）依题意，设抛物线的方程为，由点到直线的距离公式，得，解得（负值舍去），故抛物线的方程为.（2）由，得，其导数为.设，则，切线的斜率分别为，所以切线的方程为，即，即.同理可得切线的方程为.因为切线均过点，所以，所以和为方程的两组解.所以直线的方程为.（3）由抛物线定义可知，所以.由消去并整理得到关于的方程为.由一元二次方程根与系数的关系得.所以.又点在直线上，所以，即，所以，所以当时，取得最小值，且最小值为.（本小题满分12分） 设函数(1) 当，求函数的单调区间；(2) 当，求函数在上的最小值和最小值分析（1）求函数的单调区间，就是求不等式和的解集.（2）函数是一个三次函数，其导数为二次函数，因为不确定，故需要讨论判别式的符号，在时，通过表格列出函数在闭区间上的变化情况，