第12讲 指数增长的故事

精选文库第12讲 指数增长的故事课时题目：指数增长的故事课时目标：指数增长的现象和例子教学难点： 体会人的直觉为何难以正确理解指数；指数增长的可怕之处课时安排：1课时本课思考主题：直觉可能欺骗你，数学永远不会欺骗你超越直觉的指数 即使有了进位制，但要表示特别大的数字还是有些困难的。利用指数的概念，人们发明了科学计数法。巨大而难以想象的数目，可以用指数轻松的表示出来。反过来，对于很多人来说，指数的含义却远远超越了他们的直觉。故事1.无法兑现的赏赐这是印度的一个古老传说，舍罕王打算重赏国际象棋发明人宰相西萨班达依尔。这位聪明的大臣的胃口看来并不大，他跪在国王面前说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，用这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。陛下，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！” 爱卿，你所求的并不多啊。”国王说道，心里为自己对这样一件奇妙的发明赏赐的许诺不致破费太多而暗喜。“你当然会如愿以偿的，”国王命令如数付给达依尔。计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第二格内放2粒，第三格内放4粒，还没有到第二十格，一袋麦子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格飞快增长着，国王很快就看出，即便拿全印度的粮食，也兑现不了他对达依尔的诺言。原来，所需麦粒总数18446744073709551615，而要生产这么多的麦子，全世界要两千年。尽管印度舍罕王非常富有，但要这样多的麦子他是怎么也拿不出来的。这么一来，舍罕王就欠了宰相好大一笔债要么是忍受达依尔没完没了的讨债，要么是干脆砍掉他的脑袋。故事2：不胫而走的谣言某人听到一则谣言后一小时内传给两人，以后他没有再传给别人而那两人同样在一小时内每人又分别传给另外的两人如此下去，一昼夜能传遍一个千万人口的大城市吗？能？还是不能？请注意，一小时内，一个人只传给两个人，一昼夜只有24小时，一个千万人口的大城市能传遍吗？ 只凭直觉，是很难正确判断的可靠的办法还是算一算： 第1个小时，传给人； 第2个小时，传给人，即4人； 第3个小时，传给人，即8人； 第23个小时，传给人，即8，388，608人； 第24个小时，传给人，即16，777，216人 24小时就是最后一小时，仅仅这最后一小时内，就传给16777216人因此，如果符合理想条件，谣言在一昼夜内是能够传遍一个千万人口的大城市的一小时内，一个人只传给两个人，一昼夜内谣言便传遍整个城市可见，这种传谣速度是惊人的！故事3：澳大利亚的野兔之灾澳大利亚原本是没有兔子的，殖民者在开发澳大利亚的初期，引进了欧洲的兔子：澳大利亚温暖的气候、丰富的牧草，为兔子提供了良好的生存条件。加上澳大利亚缺少兔子的天敌，兔子就开始以惊人的速度繁殖起来。这个繁殖的速度是什么呢？数学可以告诉我们，一个个繁殖周期下，野兔数量以斐波那契数列增长，1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, .这个数列的前后项之比越来越趋近于黄金分割0.618，换而言之，这个数量增长的速度几乎是以为底数的指数增长列。所以，澳大利亚悲剧了。几年过后，在澳大利亚的草原上到处都可以找到野兔的踪迹。澳大利亚政府紧急号召人们捕杀野兔，并出资制定奖励措施。人们开始用各种方法来对付野兔，如枪杀、投毒、设置陷阱等等。但是由于野兔数目实在太多，繁殖又快，结果收效甚微。然而，最后发挥控制作用的，是源自野兔老家的粘液瘤病毒。科学家开始在实验室中大量的培育繁殖这种携带有病毒的蚊子。在随后的几年里，由蚊子传播的病毒迅速蔓延至整个澳大利亚，杀死了99.8%的