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基本不等式,这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。,思考：这会标中含有怎样的几何图形？,思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？,探究1,a,b,1、正方形ABCD的面积S=,、四个直角三角形的面积和S=,、S与S有什么样的不等关系？,探究：,SS即,问：那么它们有相等的情况吗？,(ab),猜想：一般地，对于任意实数a、b，我们有,当且仅当a=b时，等号成立。,A,B,C,D,E(FGH),a,b,(ab),(ab),思考：你能给出不等式的证明吗？,证明：（作差法）,重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立,文字叙述为:,两数的平方和不小于它们积的2倍.,适用范围：,a,bR,问题一,问题一,替换后得到：,即：,即：,你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？,问题二,证明：要证,只要证,要证，只要证,要证，只要证,显然,是成立的.当且仅当a=b时,中的等号成立.,分析法,问题二,证明不等式：,特别地，若a0，b0，则,通常我们把上式写作：,当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.,基本不等式,在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；,文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.,适用范围：,a0,b0,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,问题三,RtACDRtDCB，,A,B,C,D,E,a,b,O,如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,如何用a,b表示CD?CD=_,如何用a,b表示OD?OD=_,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,问题三,如何用a,b表示CD?CD=_,如何用a,b表示OD?OD=_,OD与CD的大小关系怎样?OD_CD,如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,几何意义：半径不小于弦长的一半,A,D,B,E,O,C,a,b,a=b,a=b,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,两数的平方和不小于它们积的2倍,a,bR,a0,b0,填表比较：,注意从不同角度认识基本不等式,分析:x+(1-2x)不是常数.,2,=1为,当且仅当时,取“=”号.,例2.若00,xy=24,求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值,4已知x0,y0,且x+2y=1,求的最小值,2已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值,练习题：
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