高考数学复习专题7.10：椭圆上点的存在性问题的研究与拓展_第1页
高考数学复习专题7.10：椭圆上点的存在性问题的研究与拓展_第2页
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专题7.10：椭圆上点的存在性问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：已知椭圆（），是椭圆的左、右焦点，试问在椭圆上存在几个点，使得？探究2：已知分别是椭圆的左、右焦点，l为右准线，若椭圆上存在一点，使是P到直线l的距离的3倍，则离心率的取值范围为 .考虑最大值大于等于3 答案为：变式：已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为_ 思考：若将比值形式变为乘积形式，结论如何？探究3：在平面内，已知椭圆的两个焦点为，椭圆的离心率为,点是椭圆上任意一点,且.（1）求椭圆的标准方程；（2）以椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，这样的等腰直角三角形是否存在？若存在请说明有几个、并求出直角边所在直线方程？若不存在，请说明理由解：（1）由题意得， 方程为： （2）设的直线方程为设，（不妨设）由得， 由得，即，即或所以，存在3个等腰直角三角形。 直角边所在直线方程为 变式：已知曲线，直线，为坐标原点.（1）讨论曲线所表示的轨迹形状； （2）当，时，求直线被曲线C所截得的弦长；（3）若直线与x轴的交点为，当时，是否存在这样的以为直角顶点的内接于曲线的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个？若不存在，请说明理由.解：（1），当时，曲线表示焦点在 x轴上的双曲线；当时，曲线表示单位圆；当时，曲线表示焦点在 x轴上的椭圆；当时，曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆； （2）曲线C为单位圆，直线：，圆心O到直线的距离为，所以直线被圆O:截得弦长为.故所求弦长为（3）由题意知点，设过点的直线与曲线C交于另一点，由，； 同理可求过点的直线与曲线C交于另一点，由或当时,存在三个满足条件的等腰直角三角形. 探究4：三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形已知点A是椭圆的一个短轴端点，如果以A为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，则椭圆的离心率的取值范围是_.可特殊化，取b=1便于计算，求出a的取值范围变式1：椭圆，过上顶点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，若以为直角顶点的等腰直角三角形有且仅有1个，则实数的取值范围_. 拓展：在平面内，已知椭圆的两个焦点为，椭圆的离心率为 ，点是椭圆上任意一点， 且.（1）求椭圆的标准方程；（2）以椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，这样的等腰直角三角形是否存在？若存在请说明有几个，并求出直角边所在直线方程？若不存在，请说明理由变式2：椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的
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