高考数学复习专题6.8：数列中奇偶分析问题的研究与拓展

专题6.8：数列中奇偶分析问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：已知等比数列的首项，公比，数列前n项和记为，前n项积记为.（1）求数列的最大项和最小项；（2）判断与的大小，并求为何值时，取得最大值；（3）证明中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为，证明:数列为等比数列解：（1）(1)当n是奇数时，, 单调递减，,(2)当n是偶数时，, 单调递增，；综上，当n=1时，; 当n=2时， （2），则当时，；当时， 又，的最大值是中的较大者.，因此当n=12时，最大. （3）随n增大而减小，数列的奇数项均正数且递减，偶数项均负数且递增.当n是奇数时，调整为.则，成等差数列； 当n是偶数时，调整为；则，成等差数列；综上可知，数列中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列.14分 n是奇数时，公差；n是偶数时，公差.无论n是奇数还是偶数，都有，则，因此，数列是首项为，公比为的等比数列. 变式：已知数列的通项公式为,设是数列的前项和，若对任意都成立，则的取值范围是_. 探究2：已知函数为二次函数，不等式的解集为且对任意的恒有.（1）求的解析式；（2）若数列满足,求数列的通项公式；（3）设,在（2）的条件下，若数列的前n项和为求数列的前n项和.探究3：已知等比数列的首项为，公比为，其前项和为，若对恒成立，则的最小值为 . 变式：已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n项和为, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列. （1）求数列的通项公式; （2）设, 求数列的最大项的值与最小项的值. 探究4：数列中，.数列满足，（1） 若数列是等差数列，求数列的前项和；（2） 若数列是公差为的等差数列，求数列的通项公式；（3） 若，求数列的前项的和解：（1）a1 = 1，a2 = 2，数列an是等差数列， 则b1 = b3 = b5 = 1，b2 = 5，b4 = 9，b6 = 13S6 = b1 + b2 + + b6 = 30 （2）b1 = a2 - a1 = 2 - 1 = 1，数列bn是公差为2的等差数列，bn = 2n - 1 b2n - 1 = a2n - a2n1，b2n = a2n1 + a2n，a2n - a2n1 = 4n - 3，a2n1 + a2n = 4n - 1 a2n1 + a2n - 1 = 2 则a2n3 + a2n + 1 = 2a2n3 = a2n - 1（*） a1 = 1，a3 = 1则a4n - 3 = a1 = 1，a4n - 1 = a3 = 1a2n - 1 = 1 则a2n = 4n - 2 （3）b2n - b2n - 1 = 0，而b2n - 1 = a2n - a2n1，b2n = a2n1 + a2n，b2n + 1 = a2n + 2 - a2n + 1，a2n1 + a2n1=0,（） 当n是偶数，则当n是奇数，则综上， 探究5：已知数列,其中（1）求满足=的所有正整数n的集合；（2）n16,求数列的最大值和最小值；（3）记数列的前n项和为，求所有满足（mn）的有序整数对(m,n).解：（1）an+1=bn，n15=n15，当n15时,an+1=bn恒成立，当n16时，n取偶数=1+当n=18时（）max=无最小值；n取奇数时=-1-n=17时（）min=-2无最大值 (ii)当n15时，bn=(-1)n(n-15)，a2k-1b2k-1