高考数学复习专题4.5：向量等式处理方式研究与拓展_第1页
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文档简介

专题4.5：向量等式处理方式研究与拓展【问题提出】在中，有向量等式，如何得到数量等式？（1）平方法：得到余弦定理（2）点乘法：点乘其中的已知向量，如两边可同时点乘，得到射影定理； 点乘其中一个向量的垂直向量，可得到正弦定理； 点乘其中一条直线的垂直平面内的一条直线，可得三垂线定理. 【探究拓展】探究1：ABC中，是边上任一点，且与不重合，若, 则_.（数量等式变形为向量等式）探究2：已知是锐角ABC的外接圆圆心,且,则 （用表示）解法1 如图1，作OEAC交AB于E，作OFAB交AC于FABCOEFD图1由正弦定理，得 又AOE=OAF=，所以，所以同理，因，故因，故上式可化为，即，所以m=sin解法2 将等式两边同乘以，得，即由正弦定理，得m=cosBsinC+cosCsinB=sin(B+C)=sinA=sin解法3 将已知等式两边平方，得由正弦定理，得m2=sin2A=注意到m0，故m=sin变式：已知O是ABC的外心，AB = 2a，AC = ，BAC = 120，若 = xy，则xy的最小值是 【答】2【说明】法1 以A为坐标原点，AC为x轴，建立直角坐标系，则C（，0），B（- a，a），用几何方法，可得O（，）由 = xy，得（，）=（-ax，ax）+（y，0），则当a = 1时，xy取得最小值为2解法2 因为 = | cos120 = 2a() = - 2，设AB的中点为D，则ODAB，又 = () = = = 2 = 2a2，同理， = 2 = 即解得所以，xy = = (a2) = 2当且仅当a = 1上式等号成立，此时ABC是等腰三角形探究3：给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧
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