高考数学复习专题3.5：以“ ”为背景的问题的研究与拓展

专题3.5：以“”为背景的问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：已知二次函数和“伪二次函数” （），（1）证明：只要，无论取何值，函数在定义域内不可能总为增函数；（2）在同一函数图像上任意取不同两点，线段中点为，记直线的斜率为， 对于二次函数，求证：； 对于“伪二次函数”，是否有同样的性质?证明你的结论. 解：（1）如果为增函数,则()恒成立, 当时恒成立, ()由二次函数的性质, ()不可能恒成立. 则函数不可能总为增函数.(2)对于二次函数: =.由,则不妨设,对于“伪二次函数”:法一:. () 又, ()法二: =, () 由(1)中(), ()如果有的性质，则 , 比较()( )两式得，即：，()令， ()设，则，在上递增， . ()式不可能成立,（）式不可能成立,.“伪二次函数”不具有的性质.探究2： 已知函数（1）当时，求函数的单调增区间；（2）当时，求函数在区间上的最小值；（3）记函数图象为曲线，设点，是曲线上不同的两点，点为线段的中点，过点作轴的垂线交曲线于点试问：曲线在点处的切线是否平行于直线？并说明理由解：（1）， 2分因为，所以，解，得，所以的单调增区间为 4分（2）当时，由，得，当1，即时，在上是减函数，所以在上的最小值为 6分当，即时，在上是减函数，在上是增函数，所以的最小值为 8分当，即时，在上是增函数，所以的最小值为综上，函数在区间上的最小值10分 （3）设，则点N的横坐标为，直线AB的斜率=，曲线C在点N处的切线斜率，假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，则，即， 13分所以，不妨设，则，令，所以在上是增函数，又，所以，即不成立，所以曲线C在点N处的切线不平行于直线AB 16分探究3：设函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；（3）若方程有两个不相等的实数根，求证：探究4：设函数，其图象在点处切线的斜率为（1）求函数的单调区间（用只含有的式子表示）；（2）当时，令，设，是函数的两个根，是，的等差中项，求证：（为函数的导函数）【解】（1）函数的定义域为，则，即 于是2分 当时，在上是单调减函 当时，令，得（负舍）， 所以在上是单调减函数，在上是单调增函数； 当时，若，则恒成立，在上单调减函数； 若，令，得（负舍）， 所以在上单调增函数，在上单调减函数； 综上，若，的单调减区间为，单调增区间为； 若，的单调减区间为； 若，的单调增区间为，单调减区间为8分 （2）因为，所以，即 因为的两零点为，则 相减得：， 因为 ，所以， 于是 14分 令， 则，则在上单调递减， 则，又，则命题得证16分探究5：已知函数，为常数.（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；（2）当时，试比较与的大小；（3）若函数有两个零点、，试证明.解: （1），由题，4分（2）当时，当时，单调递增，当时，单调递减由题，令，则7分又，当时，即；当时，；当时，即10分（3）， ， 12分欲证明，即证，因为，所以即证，所以原命题等价于证明，即证：，令，则，设，所以在单调递增，又因为，所以，所以，所以 16分拓展1：已知函数，设点（）是函数图象上相异