苏州市2019~2020高三数学一模试卷含答案VIP

启用前 绝密 江苏省苏州市 2019 2020 学年度第一学期期末考试试卷 高 三 数 学 2020.01 一. 填空题（本题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分) 1. 已知集合 A = x|x 1，,B = 1,0,1,4，则 AB =. 2. 已知 i 是虚数单位，复数 z(1+bi)(2+i) 的虚部为 3，则实数 b 的值为. 3. 从 2 名男生和 1 名女生中任选 2 名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概率为. 4. 为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到以 下频率分布直方图（如图） ，已知在 5，7) 之间通过的车辆数是 440 辆，则在 8，9) 之间通过的车辆数 是. 频率 组距 时间 0.10 0.16 0.20 0.24 3456789 第4题图 开始 结束 输入x 输出y x 0，则“a1 a2”是“a3 a5”的条件 （填“充分不必要”、 “必要 不充分”、 “充分必要”或“既不充分又不必要”） 7. 在平面直角坐标系 xOy 中，己知点 F1，F2是双曲线 x2 a2 y2 b2 = 1(a 0,b 0) 的左、右焦点，点 P 的坐标为 (0,b)，若 F1PF2= 120，则该双曲线的离心率为. 8. 若 x，y 满足约束条件 x 0 xy 0 x+y1 0 ，则 z = x+3y 的最大值为. 9. 如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同，已 知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为 2 5，弧长为 4 cm 的扇形，则该冰淇淋的体积是 cm3 10. 在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 x+my+m+2 = 0(m R) 上存在点 P，使得过点 P 向圆 O：x2+y2= 2 作切线 PA（切点为 A） ，满足 PO = 2PA，则实数 m 的取值范围为 . 11. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：y = 1 2 与函数 f(x) = sin ( x+ 6 ) ( 0) 的图象在 y 轴右侧的公共 点从左到右依次为 A1,A2, , 若点 A1的横坐标为 1，则点 A2的横坐标为. 12. 如图，在平面四边形 ABCD 中，已知 AD3，BC4，E，F 为 AB，CD 的中点，P，Q 为对角线 AC，BD 的中 点，则 # PQ # EF 的值为. 13. 已知实数 x，y 满足 x(x+y) = 1+2y2，则 5x24y2的最小值为. 14. 已知函数 f(x) = ex ex ,x 2 4x8 5x ,x 2 （其中 e 为自然对数的底数） ，若关于 x 的方程 f2(x)3a|f(x)|+2a2= 0 江苏 2020 届考备考系列试卷第 1 页 (共 4 页) 恰有 5 个相异的实根，则实数 a 的取值范围为. 二. 解答题（本题共 6 小题，共 90 分，解答时应写出字说明、证明过程或演算步骤） 15. (本小题满分 14 分) 已知向量 a a a = ( sinx, 3 4 ) ，b b b = (cosx,1) (1) 当 a a ab b b 时，求 tan2x 的值； ； (2) 设函数 f(x) = 2(a a a+b b b)b b b，且 x ( 0, 2 ) ，求函数 y = f(x) 的最大值以及对应的 x 的值 A B C D E A1 B1 C1 16. (本小题满分 14 分) 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CACB，D，E 分别是 AB，B1C 的中点 (1) 求证：DE平面 ACC1A1； (2) 若 DEAB，求证：ABB1C 江苏 2020 届考备考系列试卷第 2 页 (共 4 页) 17. (本小题满分 14 分) AB C D O 为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社 会主义新农村建设，某自然村将村边一块废弃的扇形荒地 (如图) 租给蜂 农养蜂、产蜜与售蜜已知扇形 AOB 中，AOB = 2 3，OB = 2 3(百米)， 荒地内规划修建两条直路 AB，OC，其中点 C 在 AB 上 (C 与 A，B 不重 合)，在小路 AB 与 OC 的交点 D 处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区， 空白部分为蜂源植物生长区设 BDC =，蜂果区的面积为 S(平方百 米) (1) 求 S 关于的函数关系式； (2) 当为何值时，蜂巢区的面积 S 最小，并求此时 S 的最小值 18. (本小题满分 16 分) O x y P Q T 定义：以椭圆中为圆，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆” 过椭圆第 象限内点 P 作 x 轴的垂线交其“辅圆”于点 Q，当点 Q 在点 P 的上 时，称点 Q 为点 P 的“上辅点” 如图，已知椭圆 E：x 2 a2 + y2 b2 = 1(a b 0) 上的点 ( 1, 3 2 ) 的上辅点为 (1, 3) (1) 求椭圆 E 的方程； (2) 若 OPQ 的面积等于 1 2，求上辅点 Q 的坐标； (3) 过上辅点 Q 作辅圆的切线与 x 轴交于点 T，判断直线 PT 与椭圆 E 的位置关系，并证明你的结论 江苏 2020 届考备考系列试卷第 3 页 (共 4 页) 19. (本小题满分 16 分) 已知数列 an 满足 2Sn= nan+a1，a3= 4，其中 Sn是数列 an 的前 n 项和 (1) 求 a1和 a2的值及数列 an 的通项公式； (2) 设 Tn= 1 S1+2 + 1 S2+4 + 1 S3+6 + 1 Sn+2n(n N ), 若 T1= T2T3，求 k 的值; 求证：数列 Tn 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积 20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x) = a+lnx x (a R) (1) 求函数 y = f(x) 的单调区间； (2) 当函数 y = f(x) 与函数 g(x) = lnx 图象的公切线 l 经过坐标原点时，求实数 a 的取值集合； (3) 证明：当 a ( 0, 1 2 ) 时，函数 h(x) = f(x)ax 有两个零点 x1，x2，且满足 1 x1 + 1 x2 a3，所以“”是“”的充分 3 条件；若“” ，即 a5=a3q2a3，所以 q21，q1 或 q-1。当 q-1 时，a2=a1qa1，因此“”是 “”的不必要条件。 【点评】考察学生对充分必要条件，等比数列的定义的运用，分类讨论思想的理解和运用，属于中档题。 7在平面直角坐标系 xOy 中，己知点 F1，F2是双曲线(a0，b0)的左、右焦点，点 P 的坐 标为(0，b)，若F1PF2120，则该双曲线的离心率为 【答案】 【分析】由题意得到 b 与 c 的数量关系，从而求解离心率 e。 【 解 答 】 由 对 称 性 知 F1PO=60 ， 所 以， 因 此 。 【点评】将双曲线与三角函数对称性勾连到一起，利用三角函数得到 b 与 c 的关系，从而建立 a 与 c 的关 系，属于中档题。 8若 x，y 满足约束条件，则 zx3y 的最大值为 【答案】3. 【分析】由约束条件画出（x,y）的区域，再考察 z=x+3y 的最大值。 【解答】画出（x,y）满足的区域，不难看出当 z=x+3y 过点（0,1）时取最大值 3. 【点评】考察学生利用线性规划解决问题的能力，题目不难，但应细心谨慎，属于中档题。 9如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相 同， 已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为， 弧长为cm 的扇形， 则该冰淇淋的体积是cm3 4 【答案】。 【分析】由圆锥侧面展开图信息可求的圆锥底面圆半径和圆锥母线长，从而求得圆锥体的高，可分别求得 圆锥体的体积和半球的体积，二者相加即可。 【解答】圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为，弧长为cm 的扇形，从而圆锥底面圆半径 r=2 ， 母 线 长 l=， 由 勾 股 定 理 可 求 的 圆 锥 体 的 高 。 半 球 体 积=。 圆 锥 体 体 积 。因此冰淇淋的体积为=。 【点评】本题考察范围较多，涉及到圆锥体侧面展开图求母线求底面圆半径，勾股定理求圆锥体高以及圆 锥体体积公式和球体积公式，计算量较大，考查学生的计算能力。属于中档题。 10在平面直角坐标系xOy中， 若直线xmym20(mR)上存在点P， 使得过点P向圆O： 作切线 PA（切点为 A） ，满足 POPA，则实数 m 的取值范围为 【答案】m或 m0. 【分析】将 POPA 转化成圆心到直线的距离小于等于即可求解。 【解答】由勾股定理知道：，又 POPA，因此 PA2=r2，即 PA=r，因此 PO= ， 现在即将题目转化为： 直线上存在点到圆心距离为 。 因此只要让圆心到直线的最小距离 d即可。 ，即，两边平方整理得，解此不等式得 m或 m0. 【点评】本题考察转化的数学思想，学生能不能顺利的将题目转化为点与直线的距离，利用点与直线距离 公式建立不等式并求解是解答本题的关键，属于中档题。 5 11在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：与函数(0)的图象在 y 轴右侧 的公共点从左到右依次为 A1，A2，若点 A1的横坐标为 1，则点 A2的横坐标为 【答案】3. 【分析】由点 A1的横坐标为 1，且点 A1是 y 轴右侧的第一个公共点，可求出的值，从而题目可迎刃而 解。 【解答】点 A1的横坐标为 1，纵坐标为，代入函数得，。因此 （kN） ， 又点A1是y轴右侧的第一个公共点， 所以，。 点 A2为 y 轴右侧的第 2 个公共点，所以点 A2的横坐标满足，解得点 A2的横坐标=3. 【点评】本题除了考察三角函数的知识以外，还考察学生挖掘隐含条件处理问题的能力。能否利用点 A1 是 y 轴右侧的第一个公共点，点 A2为 y 轴右侧的第 2 个公共点来处理问题是本题的难点。属于中档题。 12如图，在平面四边形 ABCD 中，已知 AD3，BC4，E， F 为 AB，CD 的中点，P，Q 为对角线 AC，BD 的中点，则 的值为 【答案】。 【分析】利用条件把向量、分别用、表示出来再做计算。 【解答】连接点 Q，F，P，E。由中位线定理知 FQBC 且 FQ=BC。同理有 PEBC 且 PE=BC。FP AD 且 FP=AD 。 QE AD 且 QE=AD 。 因 此 四 边 形 FPQE 为 平 行 四 边 形 ， =，所以 。 【点评】本题解法多种多样，但思考方法是一致的，即利用向量、表示出向量、再做运 算。本解法利用平面几何的知识，极大地减少了计算量，极为巧妙。本题属于中档题。 13已知实数 x，y 满足，则的最小值为 6 【答案】4. 【分析】将展开后因式分解，换元后，利用基本不等式处理。 【解答】将展开整理得，因式分解为。令 ，有uv=1，解得，。因此 当 u=，v=2 时取等号。 【点评】本题考察学生的转化数学思想，将等式转化为因式分解，再利用换元转化为基本不等式加以处理， 对学生的数学思维要求很高，属于难题。 14已 知 函 数（ 其 中 e 为 自 然 对 数 的 底 数 ）， 若 关 于 x 的 方 程 恰有 5 个相异的实根，则实数 a 的取值范围为 【答案】a=或a2 时，单调递增，值域为(0,)。 当 x2 时， 令， 解得 x=1。 当 x1 时， f(x)单调增，值域为（，1） 。当 2x1 时，f(x)单调递减，值域为，1。根据以上分 7 析，画出的草图如下 当 a0 时，或都无根。 当 a=0 时，或只有 1 个根。 当 0a时，或共有 6 个根。 当a时，或共有 7 个根。 当 a=时，或共有 6 个根。 当a时，或共有 6 个根。 当 a=时，或共有 5 个根。 当a时，或共有 4 个根。 当 a=时，或共有 5 个根。 当a1)。 13 当 n=1 时，满足。故通项公式。 （2）。因此。 所以=。=，解之得 k=1。 证明：对数列中的任意一项恒成立。 即数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积证明完毕。 【点评】本题考察知识点和方法较为丰富，第（1）问求通项公式时除了常规上下相减之外还要将等式转 化为易求数列，技巧性颇強。第（2）问考察裂项相消法的应用，第小问需要使用构造法，较难处理。 本题难度较大，属于难题。 20 （本题满分 16 分） 已知函数(R) （1）求函数的单调区间； （2）当函数与函数图象的公切线 l 经过坐标原点时，求实数 a 的取值集合； （3）证明：当(0，)时，函数有两个零点，且满足 【答案】见解答。 【分析】第（1）问利用导数求解单调性。第（2）问先求出公切线 l 的方程，再探讨 a 的取值范围。第（3） 问先利用导数研究函数 h(x)的单调性，证明零点个数。再使用函数思想，构造函数，利用导数研究函数单 调性解决不等式问题。 【解答】 （1） 对求导， 得， 令， 解得。 当 14 时，f(x)单调递增。 当时，f(x)单调递减。 （2）设公切线 l 与函数的切点为（） ，则公切线 l 的斜率 k=，公切线 l 的方 程为：， 将原点坐标 （0,0） 代入， 得， 解得。 公切线 l 的方程为：, 将它与联立， 整理得。 令， 对之求导得：， 令，解得。当时，m(x)单调递减，值域为（，） ； 当时，m(x)单调递增，值域为，)。由于直线 l 与函数 f(x)相切， 即只有一个公共点，因此。故实数 a 的取值集合为。 （3），要证 h(x)有两个零点，只要证有两个零点即可。k(1)=0， 即 x=1 时函数 k(x)的一个零点。 对 k(x)求导得：， 令