高等数学上册ppt课件VIP

.,高等数学电子教案中国石油大学（华东）理学院基础数学系金贵荣,.,前言,.,高等数学的基本内容和方法,.,.,几点要求,.,.,.,第一章函数与极限1.1函数的概念及其初等性质1.2数列极限1.3函数极限1.4无穷小与无穷大1.5函数连续性1.6闭区间上连续函数的性质,.,1.1函数的概念及其初等性质,1.1.1预备知识,1.一些常用的符号,.,2.实数集,.,有理数集的稠密性：,任意两个不同的有理数之间都有无穷多个有理数,（无理数集、实数集）,（无理数、实数）,（无理数、实数）。,实数集的连续性：,实数集与数轴上点的集合之间建立一一对应关系。,或完备的。,.,3.常用不等式:,绝对值:,.,三角不等式,(平均值不等式),(调和平均值),(几何平均值),(算术平均值),（证明略）,更一般地，,.,4.邻域:,.,1.1.2函数的概念,一.函数的定义,定义,函数传统的习惯符号：,.,注意：,一个函数也可以在其定义域的不同部分分别用不同的解析式子表示，则称之为分段定义的函数，简称分段函数.,.,有些特殊的函数只能用语言来描述对应法则，并用约定的符号予以表示:,称为取整函数,例如：5.3=-4.9=,（求极限时有用）,阶梯曲线,.,称为非负小数部分函数,.,例3符号函数,.,.,三.函数的初等性质,1函数的有界性,定理,.,证,.,2函数的单调性,(),（减）,.,.,3函数的奇偶性,证,偶函数,奇函数,.,4函数的周期性,定义,.,.,.,.,1.1.3复合函数和反函数,1.复合函数,定义,.,注意:,.,2.反函数,定义,.,.,注意：,求反函数的方法：,.,解,.,定理,证明略,.,注意：,.,1.1.4初等函数,基本初等函数（6类）：常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数.,1.常值函数,2.幂函数,3.指数函数,4.对数函数,.,5.三角函数,6.反三角函数,.,都是初等函数,.,解,.,解,.,1.2数列极限,一.数列极限的定义,数列是整标函数:,注意：,数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,.,.,问题:,意味着什么?如何用数学语言定量地刻划它.,.,.,定义1,定义2,.,.,注意:,用定义”验证数列极限，关键是如何由任意给定的寻找N？,.,例1,证,.,例2,证,.,注:,.,例3,证,.,证,.,综合之，故,.,二.收敛数列的性质和运算,定理1（唯一性）,证,由定义,证毕,.,定理2（有界性）,证,由定义,证毕,.,子数列的概念,定义,左向右任意选取无穷多项，并按它们在原数,列中的次序排成一个新的数列，表为：,简称子列.,.,.,定理3,证,证毕,推论1,.,推论2,证,证毕,.,定理4（四则运算）,注意:,四则运算只对有限个收敛数列而言，否则不能用.,.,无穷多个收敛数列,这是错误的.,.,例5求下列极限,解,.,.,三.数列收敛的判别,定理5（迫敛性或两边夹定理）,证,证毕,.,例6,解,由两边夹定理，,练习册习题7,.,例7,解,由两边夹定理，,.,单调数列,.,定理6（单调有界原理）,（证明略）,上界,下界,例8,证,.,.,例9,证,.,计算可得：,.,1.3函数的极限,一.函数在有限点处的极限,.,一般地有,.,定义1,.,几何解释:,.,单侧极限:,例如,.,左极限,右极限,.,定理,左右极限存在但不相等,例1,证,.,例2,解,左右极限存在且相等,.,用定义”验证函数极限:,关键是如何由寻找？,.,证,.,证,.,证,.,问题:,如何用数学语言刻划两个“无限趋近”.,二.函数在无穷远处的极限,.,定义2,.,定理,1,.,几何解释:,.,用定义”验证函数极限:,关键是如何由寻找？,具体方法：,.,证,.,证,.,证,.,三.函数极限的性质和运算,性质1（唯一性）,性质2（局部有界性）,证,证毕,.,性质3（局部保号性）,证,证毕,.,性质4（四则运算）,（证明略）,注：四则运算对有限个存在极限的函数而言.,.,性质5（极限不等式）,证,注意:,.,性质6（迫敛性或两边夹定理）,性质7（海涅(Heine,1821-1881,德)定理）,（证明略）,注：海涅定理揭示了函数极限与数列极限的关系.,（证明略）,.,推论:(判断不存在的方法),.,证,.,性质8（极限的变量代换）,（证明略）,.,.,.,.,四.两个重要极限,(1),.,证,(,证毕,.,(2),.,证,证毕,.,.,.,.,.,.,1.4无穷小与无穷大,定义1,一.无穷小及其性质,.,定理1（一般极限与无穷小的关系）,定理2,.,解,.,解,.,二.无穷小阶的比较,极限不同,反映了趋向于0的“快慢”程度不同.,观察各极限,.,定义2,.,.,.,.,.,.,定理3,证,证毕,.,定理4,(乘积因子等价无穷小代换定理),证,证毕,.,.,注意：,只能对函数的乘积因子作等价无穷小代,换.对于代数和中各无穷小不能作等价,无穷小代换.,否则，因丢失高阶无穷小，,而导致错误的结果.,错误结果！,.,导致错误的结果.,.,三.无穷大及其性质,定义3,.,.,性质（无穷大与无穷小的关系）,注意:,（证明略）,.,.,.,定义4,.,1.5连续函数,一.函数的连续,.,定义1,（增量式定义）,.,例1,证,.,定义2,定理,.,例2讨论下列函数在指定点的连续性：,右不连续,左连续,解,.,(函数在区间的连续性),连续函数的图形是一条连续不断的曲线.,定义3,.,例3,证,.,例4,证,.,.,二.间断点及其分类,.,第一类间断点,特点:,.,第二类间断点,.,.,例5,解,.,解,.,解,.,解,.,解,.,三.连续函数的运算,(四则运算),定理1,（证明从略）,在其定义域区间上都连续.,.,在其定义域区间上都连续.,(反函数的连续性),定理2,（证明略）,在其定义域区间上都连续.,.,在其定义域区间上都连续.,.,(复合函数的连续性),定理3,极限符号可以进入到连续函数的函数符号,内，它对求复合函数的极限是很有用的.,（证明略）,.,一般结论：,.,四.初等函数的连续性,注意：,1.初等函数仅在其定义域区间上连续,例如：,函数在这些孤立点的空心邻域内没有定义，,因此在这些孤立点无法讨论其连续性.,在其定义域内不一定连续.,.,又如：,函数在0点的空心邻域内没有定义，因此在,0点无法讨论其连续性；,.,例6,.,.,.,例7,解,.,(i),.,(ii),.,1.6闭区间上连续函数的性质,性质1（有界性）,注意:若区间是开区间,或闭区间内有间断点,则结论不一定成立.,（证