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,第十一章,积分学定积分二重积分三重积分,积分域区间域平面域空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,第一节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,对弧长的曲线积分,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,假设曲线形细长构件在空间所占,其线密度为,“大化小,常代变,近似和,求极限”,可得,为计算此构件的质量,1.引例:曲线形构件的质量,采用,设是空间中一条有限长的光滑曲线,义在上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作,若通过对的任意分割,局部的任意取点,2.定义,下列“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或第一类曲线积分.,称为被积函数，,称为积分弧段.,曲线形构件的质量,和对,如果L是XOY面上的曲线弧,如果L是闭曲线,则记为,则定义对弧长的曲线积,分为,思考:,(1)若在L上f(x,y)1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?,否!,对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中,dx可能为负.,3.性质,（k为常数),(由组成),(l为曲线弧的长度),二、对弧长的曲线积分的计算法,基本思路:,计算定积分,定理:,且,上的连续函数,证:,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,根据定义,点,设各分点对应参数为,对应参数为,则,说明:,因此积分限必须满足,(2)注意到,因此上述计算公式相当于“换元法”.,因此,如果曲线L的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:,则,推广:设空间曲线弧的参数方程为,则,例1.计算,其中L是抛物线,与点B(1,1)之间的一段弧.,解:,上点O(0,0),例2.计算半径为R,中心角为,的圆弧L对于它的对,称轴的转动惯量I(设线密度=1).,解:建立坐标系如图,则,例3.计算,其中L为双纽线,解:在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性,得,例4.计算曲线积分,其中为螺旋,的一段弧.,解:,线,例5.计算,其中为球面,被平面所截的圆周.,解:由对称性可知,内容小结,1.定义,2.性质,(l曲线弧的长度),3.计算,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,思考与练习,1.已知椭圆,周长为a,求,提示:,原式=,利用对称性,分析:,EX:,1.设C是由极坐标系下曲线,及,所围区域的边界,求,提示:分段积分,.,第二节,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,二、对坐标的曲线积分的计算法,三、两类曲线积分之间的联系,对坐标的曲线积分,.,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,1.引例:变力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移,“大化小”,“常代变”,“近似和”,“取极限”,常力沿直线所作的功,解决办法:,动过程中变力所作的功W.,.,1)“大化小”.,2)“常代变”,把L分成n个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,则,用有向线段,.,3)“近似和”,4)“取极限”,(其中为n个小弧段的最大长度),.,2.定义.,设L为xoy平面内从A到B的一条有向光滑,弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上,对坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或第二类曲线积分.,其中,L称为积分弧段或积分曲线.,称为被积函数,在L上定义了一个向量函数,极限,.,若为空间曲线弧,记,称为对坐标x的曲线积分;,称为对坐标y的曲线积分.,若记,对坐标的曲线积分也可写作,类似地,.,3.性质,(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧,(2)用L表示L的反向弧,则,则,定积分是第二类曲线积分的特例.,说明:,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,.,二、对坐标的曲线积分的计算法,定理:,在有向光滑弧L上有定义且,L的参数方程为,则曲线积分,连续,存在,且有,.,特别是,如果L的方程为,则,对空间光滑曲线弧:,类似有,.,例1.计算,其中L为沿抛物线,解法1取x为参数,则,解法2取y为参数,则,从点,的一段.,.,例2.计算,其中L为,(1)半径为a圆心在原点的,上半圆周,方向为逆时针方向;,(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(a,0).,解:(1)取L的参数方程为,(2)取L的方程为,则,则,next,.,例3.计算,其中L为,(1)抛物线,(2)抛物线,(3)有向折线,解:(1)原式,(2)原式,(3)原式,next,.,例4.设在力场,作用下,质点由,沿移动到,解:(1),(2)的参数方程为,试求力场对质点所作的功.,其中为,.,三、两类曲线积分之间的联系,设有向光滑弧L以弧长为参数的参数方程为,则两类曲线积分有如下联系,.,类似地,在空间曲线上的两类曲线积分的联系是,.,例5.,将积分,化为对弧长的积,分,解：,其中L沿上半圆周,.,1.定义,2.性质,(1)L可分成k条有向光滑曲线弧,(2)L表示L的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,内容小结,.,3.计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,.,4.两类曲线积分的联系,对空间有向光滑弧:,.,1.已知,为折线ABCOA(如图),计算,提示:,.,2.,解:,线移动到,向坐标原点,其大小与作用点到xoy面的距离成反比.,沿直,.,3.设曲线C为曲面,与曲面,从ox轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线C的参数方程;,(2)计算曲线积分,解:(1),.,(2)原式=,令,利用“偶倍奇零”,.,例5.求,其中,从z轴正向看为顺时针方向.,解:取的参数方程,.,1.定义,2.性质,(l曲线弧的长度),.,3.计算,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,.,1.定义,2.性质,(1)L可分成k条有向光滑曲线弧,(2)L表示L的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,.,3.计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,.,4.两类曲线积分的联系,.,第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,格林公式及其应用,.,区域D分类,单连通区域(无“洞”区域),多连通区域(有“洞”区域),域D边界L的正向:域的内部靠左,定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有,(格林公式),函数,在D上具有连续一阶偏导数,一、格林公式,next,.,证明:,1)若D既是X-型区域,又是Y-型区域,且,则,.,即,同理可证,、两式相加得:,.,2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割,为有限个上述形式的区域,如图,证毕,.,推论:正向闭曲线L所围区域D的面积,格林公式,例如,椭圆,所围面积,.,例1.,设L是一条分段光滑的闭曲线,证明,证:令,则,利用格林公式,得,next,.,例2.计算,其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.,解:令,则,利用格林公式,有,.,例3.计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,解:令,设L所围区域为D,由格林公式知,.,在D内作圆周,取逆时,针方向,对区域,应用格,记L和l所围的区域为,林公式,得,.,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2.设D是单连通域,在D内,具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有,(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分,(3),(4)在D内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在D内是某一函数,的全微分,即,next,.,说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为,证明(1)(2),设,为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(1),.,证明(2)(3),在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B(x,y),与路径无关,有函数,.,证明(3)(4),设存在函数u(x,y)使得,则,P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,.,证明(4)(1),设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得,所围区域为,证毕,.,说明:,根据定理2,若在某区域内,则,2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;,取定点,1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;,.,例4.计算,其中L为上半,从O(0,0)到A(4,0).,解:为了使用格林公式,添加辅助线段,它与L所围,原式,圆周,区域为D,则,.,例5.验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数.,证:设,则,由定理2可知,存在函数u(x,y)使,。,。,.,例6.验证,在右半平面(x0)内存在原函,数,并求出它.,证:令,则,由定理2可知存在原函数,.,或,.,内容小结,1.格林公式,2.等价条件,在D内与路径无关.,在D内有,对D内任意闭曲线L有,在D内有,设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有,.,思考与练习,1.设,且都取正向,问下列计算是否正确?,提示:,.,2.设,提示:,.,EX1.设C为沿,从点,依逆时针,的半圆,计算,解:添加辅助线如图,利用格林公式.,原式=,到点,.,第四节,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,对面积的曲面积分,.,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例:设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想,采用,可得,求质,“大化小,常代变,近似和,求极限”,的方法,量M.,其中,表示n小块曲面的直径的,最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,.,定义:,设为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中f(x,y,z)叫做被积,据此定义,曲面形构件的质量为,曲面面积为,f(x,y,z)是定义在上的一,个有界函数,或第一类曲面积分.,若对做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积,函数,叫做积分曲面.,.,则对面积的曲面积分存在.,对积分域的可加性.,则有,线性性质.,在光滑曲面上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.,积分的存在性.,若是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,.,定理:设有光滑曲面,f(x,y,z)在上连续,存在,且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,.,说明:,可有类似的公式.,如果曲面方程为,.,例1.计算曲面积分,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解:,next,.,思考:,若是球面,被平行平面z=h截,出的上下两部分,则,.,例2.计算,其中是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解:设,上的部分,则,与,原式=,分别表示在平面,.,例3.,设,计算,解:锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在xoy面上的,投影域为,则,.,.,内容小结,1.定义:,2.计算:设,则,(曲面的其他两种情况类似),.,思考与练习,P219题3；4(1);7,解答提示:,P219题3.,设,则,P246题2,.,P219题4(1).,在xoy面上的投影域为,这是的面积!,.,P219题7.,如图所示,有,.,P246题2.设,一卦限中的部分,则有().,.,EX1:1.已知曲面壳,求此曲面壳在平面z1以上部分的,的面密度,质量M.,解:在xoy面上的投影为,故,.,第五节,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,对坐标的曲面积分,.,一、有向曲面及曲面元素的投影,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),.,其方向用法向量指向,方向余弦,0为前侧0为右侧0为上侧0时,说明流入的流体质量少于,当0内,力,构成力场,其中k为常数,证明在此力场中,场力所作的功与所取的路径无关.,提示:,令,易证,.,P24711.,求力,沿有向闭曲线所作的,功,其中为平面x+y+z=1被三个坐标面所截成三,从z轴正向看去沿顺时针方向.,角形的整个边界,.,设三角形区域为,方向向上,则,方法2,利用斯托克斯公式,.,二、曲面积分的计算法,1.基本方法,曲面积分,第一类(对面积),第二类(对坐标),二重积分,(1)统一积分变量代入曲面方程,(2)积分元素投影,第一类:始终非负,第二类:有