高等数学 空间曲面和曲线ppt课件

曲面在空间解析几何中被看作点的轨迹.,曲面方程的定义：,8.3空间曲面和曲线,8.3.1空间曲面方程,(2)不在曲面上的点的坐标都不满足方程；,(1)曲面上任一点的坐标都满足方程；,如果曲面与三元方程有下述关系：,而曲面S称为方程的图形.,那么,方程就称为曲面S的方程,解,由题意，有,所求方程为,特别地,球心在原点的球面方程为,即,设是球面上任一点，,例1建立球心在点半径为R,的球面方程.,球面的一般方程为,经配方,可化为球面的标准方程.,例如,配方后得,例如,与,分别表示上、下半球面.,定义,绕其平面上的一条直线,这条定直线叫旋转曲面的轴.,此曲线称母线.,称为旋转曲面.,旋转一周所成的曲面,为方便,常把曲线所在,一条平面曲线,母线,轴,作坐标轴.,平面取作坐标面,旋转轴取,将代入,得所求方程为,现求yOz坐标面上的已知曲线,绕z轴旋转一周的旋转曲面方程.,(2)点M到z轴的距离,xOz坐标面上的已知曲线,绕x轴旋转一周的旋转曲面方程为,绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为,同理：yOz坐标面上的已知曲线,解,圆锥面方程,所得旋转曲面称为圆锥面.两直线的交点称为,圆锥面的顶点,两直线的夹角,圆锥面的半顶角.,称为,试建立顶点在坐标原点O,旋,半顶角为的,圆锥面的方程.,转轴为z轴,面上直线方程为,例2直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周,圆锥面的方程也可写成,圆锥面的几种常用形式,与,分别表示开口朝上与朝下的半锥面.,旋转椭球面,旋转抛物面,例3将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成的旋转曲面的方程,(1)yoz面上的椭圆绕y轴和z轴;,(2)yoz面上的抛物线绕z轴;,绕y轴旋转,绕z轴旋转,定义,平行于定直线并沿定曲线C,这条定曲线C称为柱面的准线,动直线L称为柱面的母线.,所形成的曲面称为柱面.,移动的直线L,准线,母线,柱面举例,抛物柱面,平面,从柱面方程看柱面的特征：,(其他类推),在空间直角坐标系中表示平行于z轴的柱面,其准线为xOy面上的曲线C.,椭球面,三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面,(与同号),椭圆抛物面,特殊地:当时,方程变为,旋转抛物面,分别表示开口朝上与朝下的旋转抛物面.,例如,与,(与同号),双曲抛物面(马鞍面),设,图形如下：,单叶双曲面,双叶双曲面,空间曲线的一般方程,空间曲线C可看作空间两曲面的交线.,特点:曲线上的点都满足方程,满足方程的点都在曲线上,不在曲线上的点不能,同时满足两个方程.,8.3.2空间曲线方程,例4方程组表示怎样的曲线?,解,表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆,C,例5方程组表示怎样的曲线?,解,上半球面(如图),圆柱面(如图),交线为蓝色部分(如图),称为空间曲线的参数方程,随着参数的变化可得到曲线上的,就得到曲线上的一个点,全部点.,动点从A点出发,螺旋线的参数方程,取时间t为参数,解,经过t时间,运动到M点.,那末点M构,成的图形称为螺旋线.,试建立其参数方程.,M在xOy面的投影,轴的正方向上升,例6如果空间一点M在圆柱面,上以,角速度绕z轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z,消去变量z后得：,曲线关于xOy的投影柱面.,设空间曲线C的一般方程：,投影柱面的特征：,此柱面必包含曲线C,以曲线C为准线、,C,母线垂直于所投影的坐标面.,类似地:可定义空间曲线在其它坐标面上的投影.,yOz面上的投影曲线,xOz面上的投影曲线,空间曲线在xOy面上的投影曲线(或称投影),(即为曲线关于xOy面的投影柱面),(即为xOy面),C,(即为投影柱面与xOy面的交线),解交线方程为,消去z得投影柱面,的交线关于xOy面的投影