高等数学上册第五章ppt课件

.,5.1定积分概念与性质,二、定积分定义,三、定积分的性质,一、定积分问题举例,.,二、定积分定义,定积分的定义,在小区间xi1xi上任取一点i(i12n),maxx1x2xn,记xixixi1(i12n),ax0x1x2xn1xnb,在区间ab内插入分点:,设函数f(x)在区间ab上有界,如果当0时上述和式的极限存在且极限值与区间ab的分法和i的取法无关则称这个极限为函数f(x)在区间ab,下页,.,定积分各部分的名称积分符号f(x)被积函数f(x)dx被积表达式x积分变量a积分下限b积分上限a,b积分区间,积分和,定积分的定义,二、定积分定义,下页,.,函数的可积性如果函数f(x)在ab上的定积分存在我们就说f(x)在区间ab上可积,定理1设f(x)在区间ab上连续则f(x)在ab上可积定理2设f(x)在区间ab上有界且只有有限个间断点则f(x)在ab上可积,定积分的定义,二、定积分定义,下页,.,定积分的几何意义,当f(x)0时f(x)在ab上的定积分表示由曲线yf(x)、两条直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积,当f(x)0时f(x)在ab上的定积分表示由曲线yf(x)、两条直线xa、xb与x轴所围成的图形面积的负值,这是因为,下页,.,三、定积分的性质,两点规定,下页,.,三、定积分的性质,下页,.,注值得注意的是不论abc的相对位置如何上式总成立,三、定积分的性质,下页,.,三、定积分的性质,下页,.,推论1,如果在区间ab上f(x)g(x)则,这是因为g(x)f(x)0从而,如果在区间ab上f(x)0则,性质5,下页,.,这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|所以,推论1,如果在区间ab上f(x)g(x)则,如果在区间ab上f(x)0则,性质5,下页,.,推论1,如果在区间ab上f(x)g(x)则,如果在区间ab上f(x)0则,性质5,性质6设M及m分别是函数f(x)在区间ab上的最大值及最小值则,下页,.,如果函数f(x)在闭区间ab上连续则在积分区间ab上至少存在一个点使下式成立,性质7(定积分中值定理),积分中值公式,结束,.,5.2微积分基本公式,积分上限的函数及其导数,牛顿莱布尼茨公式,.,二、积分上限的函数及其导数,积分上限的函数,定理1(积分上限函数的导数),下页,.,定理2(原函数存在定理),首页,.,例1、求下列函数的导数。,.,变限积分求导,.,练习,.,练习,求下列极限,.,三、牛顿莱布尼茨公式,定理3(牛顿莱布尼茨公式),若F(x)是连续函数f(x)在区间ab上的一个原函数则,下页,.,下页,.,例4.计算其中,.,5.3定积分的换元法和分部积分法,一、定积分的换元法,二、定积分的分部积分法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,不定积分,.,一、定积分的换元法,假设函数f(x)在区间a,b上连续,函数x(t)满足条件:(1)(a)a,()b;(2)(t)在,(或,)上具有连续导数,且其值域不越出a,b,则有,定理(换元积分法),下页,.,说明:,1)当,即区间换为,定理1仍成立.,3)换元公式也可反过来使用,即,配元不换限,2)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.,.,例1.计算,.,提示,提示,换元一定要换积分限不换元积分限不变,下页,.,讨论,例5证明若f(x)在aa上连续且为偶函数则,下页,.,计算：,.,二、定积分的分部积分法,设函数u(x)、v(x)在区间a,b上具有连续导数,分部积分过程,由(uv)uvuv,得uv(uv)uv,等式两端在区间ab上积分得,这就是定积分的分部积分公式,下页,.,例：计算（1）,分部积分过程,（2）,.,练习（1）,分部积分过程,（2）,（3）,.,5.4反常积分,一、无穷限的反常积分,二、无界函数的反常积分,.,一、无穷限的反常积分,定义(无穷限的反常积分),在反常积分的定义式中如果极限是存在的则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散,连续函数f(x)在区间a)上的反常积分定义为,类似地连续函数f(x)在区间(b上和在区间()的反常积分定义为,下页,.,反常积分的计算,如果F(x)是f(x)的原函数则有,可采用如下简记形式,一、无穷限的反常积分,定义(无穷限的反常积分),连续函数f(x)在区间a)上的反常积分定义为,下页,.,类似地有,反常积分的计算,如果F(x)是f(x)的原函数则有,一、无穷限的反常积分,定义(无穷限的反常积分),连续函数f(x)在区间a)上的反常积分定义为,下页,.,下页,.,首页,.,二、无界函数的反常积分,无界函数的反常积分又称为瑕积分,如果函数f(x)在点x0的任一邻域内都无界那么点x0称为函数f(x)的瑕点(也称为无界间断点),定义(无界函数反常积分),设函数f(x)在区间(ab上连续点a为f(x)的瑕点.函数f(x)在(ab上的反常积分定义为,在反常积分的定义式中如果极限是存在的则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散,下页,.,函数f(x)在ac)(cb上(c为瑕点)的反常积分定义为,类似地函数f(x)在ab)上(b为瑕点)的反常积分定义为,二、无界函数的反常积分,定义(无界函数反常积分),设函数f(x)在区间(ab上连续点a为f(x)的瑕点.函数f(x)在(ab上的反常积分定义为,下页,.,反常积分的计算,如果F(x)为f(x)的原函数,可采用简记形式,则f(x)在(ab上的反常积分为,二、无界函数的反常积分,定义(无界函数反常积分),设函数f(x)在区间(ab上连续点a为f(x)的瑕点.函数f(x)在(ab上的反常积分定义为,下页,.,提问f(x)在ab)上和在ac)(cb上的反常积分如何计算？如何判断反常积分的敛散性？,反常积分的计算,如果F(x)为f(x