高中数学培优辅导专题3： 含参数函数不等式恒成立问题

专题三 含参数函数不等式恒成立问题不等式问题是数学中的重要内容之一，而含参数函数不等式恒成立问题又是重点中的难点这类问题既含参数又含变量，与多个知识有效交汇，有利于考查学生的综合解题能力，检验学生思维的灵活性与创造性，这正符合高考强调能力立意，强调数学思想与方法的命题思想，因此恒成立问题成为近年来全国各地高考数学试题的一个热点模块1 整理方法 提升能力处理含参数函数不等式（一个未知数）恒成立问题，从方法上，可考虑分离参数法或猜想最值法（必要条件法）如果使用分离参数法，则猜想是没有作用的，对于难一点的分离参数法，可能要使用多次求导或洛必达法则如果使用猜想法，则后续有3种可能：一是猜想没有任何作用；二是利用猜想减少分类讨论；三是在猜想的基础上强化，从而得到答案从改造的形式上，解答题优先选择一平一曲，可利用分离参数法转化为一平一曲两个函数，也可以把函数化归为一边，考虑函数的图象与轴的交点情况（本质上也是一平一曲）洛必达法则如果当（也可以是）时，两个函数和都趋向于零或都趋向于无穷大，那么极限可能存在，也可能不存在如果存在，其极限值也不尽相同我们称这类极限为型或型不定式极限对于这类极限，一般要用洛必达法则来求定理1：若函数和满足条件：（1）（2）和在的某个去心邻域内可导，且（3）存在或为无穷大则有定理2：若函数和满足条件：（1）（2）和在的某个去心邻域内可导，且（3）存在或为无穷大则有在定理1和定理2中，将分子、分母分别求导再求极限的方法称为洛必达法则使用洛必达法则时需要注意：（1）必须是型或型不定式极限（2）若还是型或型不定式极限，且函数和仍满足定理中和所满足的条件，则可继续使用洛必达法则，即（3）若无法判定的极限状态，或能判定它的极限振荡而不存在，则洛必达法则失效，此时，需要用其它方法计算（4）可以把定理中的换为，此时只要把定理中的条件作相应的修改，定理仍然成立例1已知函数（）（1）求在上的最小值；（2）若对恒成立，求正数的最大值【解析】（1）定义域为，当时，函数在为增函数，所以当时，由可得，由可得，所以在上递增，在上递减于是在上的最小值为或（i）当，即时，（ii）当，即时，综上所述，当时，；当时，（2）令，则对恒成立对恒成立法1：（分离参数法）当，不等式恒成立，于是对恒成立对恒成立令，则，令，则，所以在上递增，于是，即，所以在上递增由洛必达法则，可得，于是，所以正数的最大值为法2：（不猜想直接用最值法）构造函数，则当，即时，所以函数在上递增，所以当，即时，由可得，所以函数在上递减，于是在上，不合题意综上所述，正数的最大值为法3：（先猜想并将猜想强化）由常用不等式（）可得，即当时，式子恒成立，当，有恒成立，而，所以下面证明可以取到，即证明不等式对恒成立构造函数（），则，所以函数在上递增，所以，所以不等式对恒成立，所以正数的最大值为法4：（先猜想并将猜想强化）对恒成立，因为所以，即下同法3法5：（先猜想并将猜想强化）当，不等式恒成立，于是对恒成立对恒成立由洛必达法则，可得，于是下同法3【点评】法1（分离参数法）把恒成立问题转化为求的最小值，法2（最值法）把恒成立问题转化为求的最小值由此可见最值法与分离参数法本质上是相通的，其本质都是把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，其区别在于所求的函数中是否含有参数法3、法4和法5都是先求出必要条件，然后将必要条件进行强化，需要解题的敏感度和判断力如果我们将这个必要条件与法2的最值法进行结合，可减少法2的分类讨论例2设函数（1）求的单调区间；（2）若，为整数，且当时，求的最大值【解析】（1）当时，在上恒成立，所以在上递增当时，由可得，由可得所以在上递减，在上递增（2）当时，所以，即在上恒成立法1：（分离参数法）在上恒成立在上恒成立令，则，令，有在上恒成立，所以在上递增（也可由（1）可知，函数在上递增）而，所以在上有唯一根，所以当时，当时，于是在上递减，在上递增，所以在上的最小值为，因为，所以，于是，所以，所以的最大值为法2：（不猜想直接用最值法）令，则，令可得当，即时，有在上恒成立，于是在上递增，从而在上有，于是在上恒成立当，即时（因为是整数，所以），可知当时，当时，于是在上的最小值是令，则在上恒成立，所以在上单调递减而，所以当时，有在上恒成立，当时，在上不恒成立综上所述，的最大值为法3：（先猜想并将猜想强化）因为在上恒成立，所以当时，该式子也成立，于是，即下证的最大值为令，则，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增所以，于是的最大值为【点评】由于是整数，所以先猜想再将猜想强化是优先采用的解题方法如果将是整数这个条件去掉，则得到的必要条件既不能强化又不能减少分类讨论，此时猜想将没有任何作用，只能用法1的分离参数法和法2的最值法进行求解例3设函数（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围【解析】（1）当时，由可得，由可得所以的递增区间是，递减区间是（2）法1：（分离参数法）在上恒成立在上恒成立当时，式子显然成立；当时，分离参数可得在上恒成立令，则，令，可得，所以在上递增，于是，即，所以在上递增，于是，所以，所以在上递增由洛必达法则，可得，所以在上有，所以法2：（不猜想直接用最值法），当，即时，有，所以在上递增，所以，所以，所以在上递增，所以当，即时，由可得时，于是在上递减，所以，所以，所以在上递减，于是，于是不恒成立综上所述，的取值范围是法3：（先猜想并将猜想强化）当时，在上恒成立当时，在上恒成立在上恒成立由洛必达法则，可得，所以，所以在上递增，所以，所以，所以在上递增，所以【点评】对于恒成立问题，最值法与分离参数法是两种最常用的方法如果分离后的函数容易求最值，则选用分离参数法，否则选用最值法最值法主要考查学生分类讨论的思想，一般遵循“构造函数分类讨论”两部曲来展开一些稍难的恒成立问题，如果用分离参数法来处理，往往需要多次求导和使用洛必达法则本题中，法2的最值法比法1的分离参数法要简单，这是因为处理的最小值要比处理的最小值要容易猜想最值法的模式是解决恒成立问题的重要模式，猜想的一般方法有：特殊值代入，不等式放缩，洛必达法则，端点效应模块2 练习巩固 整合提升练习1：已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：当时，；（3）设实数使得对恒成立，求的最大值【解析】（1），因为，所以，于是切线方程为【证明】（2）构造函数，因为，所以在上递增，所以于是当时，【解析】（3）法1：（不猜想直接用最值法）构造函数，则当时，所以在上递增，所以当时，所以在上递增，所以当时，由可得，于是在上递减，所以，于是在上不恒成立综上所述，的最大值为法2：（先猜想并将猜想强化）由（2）可知，猜想的最大值为下面证明当时，在上不恒成立构造函数，则当时，由可得，于是在上递减，所以，于是在上不恒成立练习2：设函数（1）证明：在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意、，都有，求的取值范围【证明】（1），令，则，所以在上递增，而，所以当时，当时，所以在单调递减，在单调递增【解析】（2）由（1）可知，在上递减，在上递增，所以，于是对于任意、，都有，即构造函数，则，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增又因为，所以的取值范围是练习3：已知函数（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若当时，求的取值范围【解析】（1）的定义域为当时，所以，于是曲线在处的切线方程为（2）法1：（分离参数法）当时，令，则，令，则，于是在上递增，所以，于是，从而在上递增由洛必达法则，可得，于是于是的取值范围是法2：（不猜想直接用最值法）当，即时，所以在上递增，所以当时，令，则，所以（即）在上递增，于是（i）若，即时，于是在上递增，于是（ii）若，即时，存在，使得当时，于是在上递减，所以综上所述，的取值范围是法3：（变形后不猜想直接用最值法）当时，令，则，记，则是以为对称轴，开口方向向上的抛物线当，即时，所以，于是在上递增，因此当，即时，的判别式为，于是有两根，不妨设为、，且由韦达定理可得，于是，所以，于是，当时，所以，于是在上递减，即综上所述，的取值范围是法4：（通过猜想减少分类讨论）当时，因为，所以，即，记，则是以为对称轴，开口方向向上的抛物线当时，所以，于是在上递增，因此所以的取值范围是法5：（通过猜想减少分类讨论）当时，由洛必达法则，可得，于是下同法4练习4：已知函数，曲线在点处的切线方程为（1）求、的值；（2）如果当，且时，求的取值范围【解析】（1），因为，所以，于是（2）法1：（分离参数法）由可得，令（且），令，则，令，则，令，则当时，在上递增，于是，即，所以在上递减，于是，即，所以在上递增，所以，于是，所以在上递减当时，在上递增，于是，即，所以在上递增，于是，即，所以在上递增，所以，于是，所以在上递增由洛必达法则，可得，同理，所以当且时，有，于是法2：（不猜想直接用最值法）由（1）知，所以，考虑函数，则，此时有，令，当时，其判别式为当时，所以，于是，于是在上递减，而，所以当时，于是；当时，于是所以当，且时，即恒成立当时，是开口方向向下，以为对称轴，与轴有两个交点的二次函数因为，所以当时，所以，于是在上递增，所以而时，所以，于是不恒成立当时，所以在上是增函数，所以当时，而，所以，于是不恒成立当时，是开口方向向上，以为对称轴，与轴有两个交点的二次函数因为，所以在上恒成立，所以在上是增函数，以下同，于是不恒成立当时，是开口方向向上，以为对称轴，与轴最多有一个交点的二次函数，所以在上恒成立，所以在上是增函数，以下同，于是不恒成立综上所述，的取值范围为法3：（通过猜想减少分类讨论）由（1）知，所以因为，所以考虑函数，则，此时有，令，这是开口方向向下的抛物线，其判别式为当时，所以，于是，于是在上递减，而，所以当时，于是；当时，于是所以当，且时，即恒成立当时，是开口方向向下，以为对称轴，与轴有两个交点的二次函数因为，所以当时，所以，于是在上递增，所以而时，所以，于是不恒成立综上所述，的取值范围为法4：（通过猜想减少分类讨论）由可得，由洛必达法则，可得，于是，所以下同法2，只需讨论法2的三种情况即可法5：（通过猜想减少分类讨论）由可得，由洛必达法则，可得，所以下同法2，只需讨论法2的即可【点评】法1的分离参数法，利用了高阶导数以及洛必达法则，减少了