高中数学培优辅导专题8： 圆锥曲线中的“定”问题

专题八 圆锥曲线中的“定”问题近些年，关于圆锥曲线的命题，不管是高考真题还是高考模拟题，都不约而同地大量涌现出一类“定”问题，即定值、定点以及定直线问题，考生遇见这样的问题都因不得要领，从而内心感到惧怕，但因为这类题在解答之前并不知道其定值、定点之结果，更增添了它的难度，有着很好的区分度，于是这一类题就成为了命题者们青睐的考题，相信在今年或往后的高考中会成为一种趋势模块1 整理方法 提升能力圆锥曲线中的“定”问题常有以下类题型：题型1：定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值定值问题的解法：选好参数，求出题目所需的代数表达式，然后对表达式进行直接推理、计算，并在推理计算的过程中消去变量，从而得到定值这种方法可简记为：一选（选好参变量）、二求（对运算能力要求颇高）、三定值（确定定值）题型2：定点问题解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线和曲线（中的参数）如何变化，直线和曲线都经过某一个定点定点问题的两种解法：一是从特殊入手，求出定点，再进行一般性的证明二是把直线或曲线方程中的变量、当作常数看待，把相关的参数整理在一起，同时方程一端化为零既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于、的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点题型3：定直线问题对于求证某个点不管如何变化，始终在某条直线上的题目，其本质就是求动点的轨迹方程例1椭圆有两顶点、，过其焦点的斜率为的直线与椭圆交于、两点，并与轴交于点，直线与直线交于点（1）当时，求直线的方程；（2）当点异于、两点时，求证：为定值【解析】（1）由已知可得椭圆方程为，设的方程为，则由，消去可得设，则，解得，所以，所以直线方程为【证明】（2）设的方程为（且），则点的坐标为直线的方程为，直线的方程为，联立两条直线方程，可得点的横坐标为，由（1）可知，代入上式，可得于是【点评】从直线的斜率和点这两个角度，共引入了5个参数：、，用这5个参数将点和点的坐标表示出来（因为点的纵坐标为0，所以可以不求点的纵坐标），然后进行消参，最后求出的定值尽管题目是要求点异于、两点，但是我们可以大胆假设点和点重合，此时点就是点，从而我们可以猜出的定值为1猜出定值，能使定值问题有清晰明确的方向，也能在做不出题目的时候实现抢分最大化例2等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线：（）上（1）求抛物线的方程；（2）设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于点证明：以为直径的圆恒过某定点【解析】（1）依题意，不妨设，则，因为点在上，所以，解得，所以抛物线的方程为【证明】（2）法1：由（1）知，所以设点，则，且的方程为，即令，可得设是圆上一点，则，即，整理可得，因为，所以，该式子要对任意的满足（）的恒成立，所以，由此解得，所以以为直径的圆恒过定点法2：由对称性可知该定点必在轴上，设为由（1）知，所以设点，则，且的方程为，即令，可得由，可得，整理可得，因为，所以，该式子要对任意的满足（）的恒成立，所以，由此解得，所以以为直径的圆恒过定点法3：由对称性可知该定点必在轴上由（1）知，所以设点，则，且的方程为，即令，可得取，此时，以为直径的圆为，与轴交于点和；取，此时，以为直径的圆为，与轴交于点和由此可知，该定点为，下证就是所求的点因为，所以，所以以为直径的圆恒过定点【点评】该题可有以下4种设问方式：证明以为直径的圆恒过定点；证明以为直径的圆恒过轴上某定点；证明以为直径的圆恒过某定点；以为直径的圆是否恒过定点其难度逐渐增加法2根据对称性，将题目转化为设问，法3根据对称性以及特殊情况，将题目转化为设问对于圆过定点问题，如果我们可以从对称性或特殊情况入手，猜出结果，则能有效降低题目的计算和证明的难度例3设椭圆：的焦点在轴上（1）若椭圆的焦距为，求椭圆的方程；（2）设、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的第一象限内的点，直线交轴于点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上【解析】（1）因为焦距为，所以，解得，所以椭圆的方程为【证明】（2）设，其中，由题设知，于是、三点共线，所以，即将代入，可得，即，又因为，于是，即点在直线上【点评】要证明点在定直线上，其本质就是证明点的轨迹在一条直线上由轨迹方程的参数法理论，引进了、四个参数，要求与的关系，就要找三个方程模块2 练习巩固 整合提升练习1：椭圆（的中心为原点，离心率，左焦点到右顶点的距离为（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点满足：，其中、是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，证明：存在两个定点、，使得为定值【解析】（1）由，解得，所以，椭圆的标准方程为【证明】（2）设，则由可得，即，因为点、在椭圆上，所以，于是由题设条件知，因此，所以，所以点是椭圆上的点，其左焦点为，右焦点为，为定值【点评】要证明存在两个定点、，使得为定值，即要证明点的轨迹在椭圆上引进了、六个参数，需要找五个方程：，在消参的过程中，根据方程的特点，猜测是定值，从而使消参的方向更明确练习2：若椭圆的方程为（），、是它的左、右焦点，椭圆过点，且离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左、右顶点为、，直线的方程为，是椭圆上任一点，直线、分别交直线于、两点，求的值；（3）过点任意作直线（与轴不垂直）与椭圆交于、两点，与轴交于点，且，证明为定值【解析】（1），解得，所以椭圆的方程为（2），设，因为、三点共线，所以，即，同理，于是，所以【证明】（3）设，由可得，即（），代入椭圆方程，可得，同理，由可得两式相减，可得练习3：在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为设过点的直线、与椭圆分别交于点、，其中，（1）设，求点的坐标；（2）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）【解析】（1）将，代入椭圆方程，以及，可得，直线的方程为，即直线的方程为，即联立两条直线方程，可