五年级数学竞赛第1讲简单逻辑问题

第一讲 简单逻辑问题例1甲、乙、丙、丁四人对A先生的藏书数目作了一个估计。甲说：“A先生有500本书”；乙说：“A先生至少有1000本书”；丙说：“A先生的书不到2000本”；丁说：“A先生最少有1本书”。这四个人的估计中，只有一句是对的。问A先生究竟有 本书。解：把四个人的估计列一个表：甲乙丙丁A藏书xx=500x1000x2000x1我们采用“穷举法”讨论：如果甲说的对，那么丙和丁说的都对，与题意（只有一句对）不符；如果乙说的对，那么丁也说的对，与题意不符；如果丙说得对，x2000，若1000x2000，则乙和丁说的也对；若1x1000，则丁也说的对；不符合题意，当x=0时，只有丙说得对。所以x=0合理。21世纪教育网版权所有如果丁说的对，若1x2000，则乙说的也对，不符合题意。综上所述，A先生的藏书室0。例2在神话传说的某国内，居民不是骑士就是无赖，骑士从来不说谎，而无赖永远说谎。我们遇到该国的居民A、B、C。A说：“C是骑士，B是无赖”；C说：“A和我不同，一个是骑士，一个是无赖”；则这三个人中骑士是 ；无赖是 。解：对于A来说，不是骑士，就是无赖。如果A是骑士（说真话），那么C是骑士，B是无赖。而C也说真话，“A和我不同，一个是骑士，一个是无赖”，这就产生矛盾了。21*cnjy*com这样A一定是无赖，而A说的“C是骑士，B是无赖”是假话，所以B是骑士，C是无赖。因为C是无赖，所以他说的“A和我不同，一个数骑士，一个是无赖”是假话，即A、C都是无赖。因此B是骑士，A、C是无赖。例3把18这八个号码，贴在四个小伙子小张、小赵、小王、小李和他们四个人的妹妹小敏、小珍、小兰、小英的背后，根据以下条件判断这八个人各贴的几号？并判断出谁是谁的妹妹？21cnjy 兄妹号码不相邻，男的与男的号码不相邻； 小张是1号，小敏是8号； 小王与小珍的号码相邻； 小李是小敏的哥哥； 小英是2号，小王的号码与小英相邻。解：问题是要求出号码与八个人的对应关系和兄妹的对应关系。先把已知条件列出（兄妹关系用连线表示）： 兄小张小赵小王小李号码1妹小敏小珍小兰小英号码82因为小王的号码小英相邻，所以小王的号码只能是3号；又小王的号码与小珍相邻，所以小珍只能是4号；由于兄妹号码不相邻，男的与男的号码不相邻，所以女的与女的号码也不相邻，于是小兰只能是6号；小李与他的妹妹小敏的号码不相邻，于是小李不是7号，只能是5号，小赵是7号；根据兄妹号码不相邻，小王（3号）的妹妹只能是小兰（6号）；小张（1号）的妹妹不能是小英（2号），只能是小珍，小赵的妹妹是小英。答案列表如下：兄小张小赵小王小李号码1735妹小敏小珍小兰小英号码8462例4在一次国际会议上，甲、乙、丙、丁四人交谈，其中每人只会英、法、日、中四种语言中的两种语言，没有四人都会的一种语言，只有一种语言三人会。 乙不会英语，甲丙交谈请他当翻译； 甲会日语，丁不会，但他们能对话； 乙、丙、丁可以不用翻译交谈，但没有三人都会的语言； 没有人既会日语，又会法语。问四人各会哪两种语言。解：由知，甲会日语；由知，甲不会法语，那么甲一定会英、中文的一种。如果甲会英语，由，丙会法语和中文，（因为甲、丙交谈需要翻译，没有共同的语言）；由乙做甲、丙对话的翻译，乙不会英语，所以一定是会日语与甲交谈；又由，乙不会法语，乙一定会中文。由，丁不会日语，而与甲能对话，丁一定会英语，假设丁会中文，则乙、丙、丁都会中文，与矛盾。因此丁一定会法语。把以上结果列表如下：www-2-1-cnjy-com英法日中甲乙丙丁此表反映的结果又与矛盾（乙、丙、丁可以不用翻译交谈），乙与丁不能交谈。所以此结论不合题意。这样只有甲会中文；丙会英语和法语；又知丁不会日语，假设丁会法语，则乙丙丁都会法语，与矛盾（没有三人都会的语言），那么丁一定会英语。21*cnjy*com最后的结论如下表：英法日中甲乙丙丁此结论满足题目中的所有条件。例5体育馆里正进行一场精彩的羽毛球双打比赛，两位观众互相议论：“吴超比李明年轻”；“赵奇比他的两个对手年龄都大”；“吴超比他的伙伴年龄大”；“李明与吴超的年龄差距比赵奇与张辉的差距更大些”。 请你写出他们四人的年龄大小顺序。解：设吴超的年龄为x岁，李明的年龄为y岁，赵奇的年龄为z岁，张辉的年龄为w岁。由，yx；由、可知，吴超的伙伴不是李明，只能是赵奇或张辉；如果吴超的伙伴是赵奇，由，xz，那么yxz，由，zy，zw，矛盾。所以吴超的伙伴不是赵奇，吴超的伙伴只能是张辉。比赛时吴超、张辉对阵李明、赵奇。只能是yxw；又由，zx，zw，z对y有两种可能，zy或zxw或yzxw。对于zyxw，zwyx，与不符合。只有yzxw成立。所以四人年龄从小到大排列是张辉、吴超、赵奇、李明。例6如图所示，一个正六边形ABCDEF，在六条边AB、BC、CD、DE、EF、FA上随意写上16这六个数字，每个数字写一次，同时又在OA、OB、OC、OD、OE、OF上也写上16这六个数字，每个数字用一次。判断是否存在这样一种写法，使三角形OAB、OBC、OCD、ODE、OEF、OFA的三条边上各数字之和相等？为什么？2-1-c-n-j-y解：设AB、BC、CD、DE、EF、FA上写的数为a1、a2、a3、a4、a5、a6，a1+a2+a3+a4+a5+a6=1+2+3+4+5+6=21. 设OA、OB、OC、OD、OE、OF上写的数分别是b1、b2、b3、b4、b5、b6，b1+b2+b3+b4+b5+b6=1+2+3+4+5+6=21. 假设六个三角形三边上的数字和都相等，设这个和为S，六个三角形的各边上的数字和为6S。那么在取和中，a1、a2、a3、a4、a5、a6各出现一次，b1、b2、b3、b4、b5、b6各出现二次，【版权所有：21教育】所以有6S=(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+2(b1+b2+b3+b4+b5+b6)，6S=21+221=63，63不是6的倍数，这不合理。所以不存在这样一种写法。例7在数学晚会上，张华表演了一个数学猜谜节目。首先把35枚棋子中的2枚、3枚、4枚分别给了甲、乙、丙三人，其余26枚放在桌子上。另外在桌子上还有标有1、2、3号的竹签各一根。甲、乙、丙三个背着张华随意的取一根竹签。让张华猜，谁持有几号竹签。张华说：“持有1号竹签的，从桌子上再取和自己一样多的棋子；持有2号竹签的，从桌子上再取自己原有棋子的2倍；持有3号竹签的，从桌子上再取自己原有棋子的4倍。”谁又从桌子上取走多少棋子，张华并没有看到。事后张华见到桌子上只剩下3枚棋子，马上猜出甲持2号签，乙持1号签，丙持3号签。请说明张华根据什么猜的。21世纪*教育网解：三人持签只有六种可能，对每种可能的情况，分别计算棋子的余数。原有数甲2乙3丙4操作过程余数持签号码12326(21+32+44)213226(21+34+42)421326(22+31+44)323126(22+34+41)631226(24+31+42)732126(24+32+41)8从上表看出，只有甲持2号签，乙持1号签，丙持3号签时，余数才是3.练习题1小张、小王、小李、小赵四位同学住在一间宿舍里，规定每晚最后一个回宿舍的同学吧室外的路灯关上。有一天晚上，他们中间最晚回来的那位同学忘了关灯，第二天宿舍管理员查问谁回来的最晚？21小张说：“我回来的时候，小李还没有回来”；小王说：“我回来的时候，小赵已经睡了，我也就睡了”；小李说：“我进门的时候，小王正在床上”；小赵说：“我回来就睡了，别的没注意”。四位同学说的都是实话，那么回来最晚的同学是 。答案：小李；解：由小张说：“我回来的时候，小李还没有回来”，小张不是最晚回来的。由小王说：“我回来的时候，小赵已经睡了，我也就睡了”；所以小赵不是最晚回来的。由小李说：“我进门的时候，小王正在床上”；所以小王也不是最晚回来的。所以小李上最晚回来的。2在一个国际学生联欢会上，一个圆桌周围坐着五个人，甲是中国人，会说英语；乙是法国人，会说日语；丙是美国人，会说法语；丁说日本人，会说汉语；戊是法国人，会说西班牙语。问他们应该怎样坐，才能彼此间都能交流。21cnjycom答案：解：只有戊一个人会西班牙语，所以不能用西班牙语交流，他只能坐在法国人乙和会法语的丙之间；乙会说日语，他的另一边可以坐日本人丁；丁会说汉语，丁的另一侧可以坐中国人甲；甲会说英语，他的另一侧可以坐美国人丙。这样座位就排定了。3小张、小王、小李谈年龄，每人都说三句话，并且又两句真话，一句假话。小张说：“我今年才22岁”，“我比小王还小两岁”，“我比小李大一岁”。小王说：“我不是年龄最小的”，“我和小李相差三岁”，“小李25岁了”。小李说：“我比小张小”，“小张23岁了”，“小王比小张大三岁”。请你推断他们三人的年龄。答案：小张23岁；小王25岁；小李22岁；解：先从小张开始，如果小张说的“我今年才22岁”这句话是真的，那么小李说的“小张23岁了”是假话，而“我比小张小”， “小王比小张大三岁”。是真话。那么小王是22+3=25岁，而小李的年龄比22岁还小。【来源：21世纪教育网】再看小王的三句话，其中“小李25岁了”是假话，“我和小李相差三岁”也是假话，根据题意，每个人只讲一句假话，发生矛盾。所以小张说的“我今年才22岁”这句话是假话。其他两句“我比小王还小两岁”，“我比小李大一岁”，都是真话。21教育名师原创作品于是三个人的年龄从小到大排列是是小李、小张、小王。再看小王的三句话，其中“我不是年龄最小的”，“我和小李相差三岁”，是真话；“小李25岁了”。是假话。在小李的三句话中，“我比小张小”，“小张23岁了”，是真话，“小王比小张大三岁”是假话。所以小张23岁，小王25岁，小李22岁。4少先队员要去采访一位电子科学家，可是不知道这位科学家姓什么，看门的老爷爷说了下面一段话：二楼住着姓李、姓王、姓张三位科技会议代表，其中一位科学家，一位技术员，一位编辑，同时还有三位来自不同地方的旅客，也是姓李、姓王、姓张各一位。并且知道：姓李的旅客来自北京；技术员在广州一家工厂工作；姓王的说话有口吃毛病，不能作教师；与技术员同姓的旅客来自上海；技术员与一位教师旅客来自同一个城市；姓张的代表赛乒乓球总是输给编辑。请判断科学家的姓是 。答案：张；解：由知道姓张的代表不是编辑，所以他可能是科学家或者说技术员。如果姓张的代表数技术员，则列表表示一下旅客的情况：来自北京来自上海来自广州张王李由，与技术员同姓的旅客来自上海，所以张姓旅客来自上海；由姓李的旅客来自北京，而三位旅客来自不同的城市，那么姓王的旅客来自广州，21教育网由技术员在广州一家工厂工作，技术员来自广州，由，技术员与一位教师旅客来自同一个城市，所以姓王的旅客是教师，【出处：21教育名师】这与姓王的说话有口吃毛病，不能作教师发生矛盾。所以姓张的代表不是技术员，他只能是科学家。5一个国家的珠宝店发生了一起盗窃案，经过侦破，作案人员肯定是A、B、C、D中的一人，把这四人作为重大嫌疑人讯问。【来源：21cnj*y.co*m】A说：“珠宝被盗那天，我在别的城市，没有犯罪时间”；