过正方体上任意三点作截面的一般方法

. 韶 中等数学 . . 阅. . . . . . . 过正方体上任意三点作截面的一般方法 戴抒章 在柱 、 锥 、 台 、 球的研究中 , 一个重要 的内容是研究它们的各种截面 以及截面的作 法 。 它们的 对角面 、 中截面 以及平行于底 面 的截面 等 , 都不难按 要求画 出来 。 但在简单 几何体中 , 如何作任 意给出一定条件的截面 就是一个较 为困难 的问题 , 而学会这种截面 的作法 , 对建立空间概念 , 培养空间 想象 力 , 都有不可忽视的作用 。 本文仅就如何作 立方体的截面作一初步探讨 。 研究 立体 截面的图形 , 必须充分应用平 面图形的性质 , 它的 主要依据是关于点 、 线 、 面 之间 的 从属关系的 三条公理 : 公理 1 . 如果一条直 线上有两个点在一 个平面上 , 则这条直线上所有 的点都在这个平面上 。 公理 2 . 过不在一直线上的三点能且只 能作一个平面 。 公理 3 . 如果两个平面有一个公共点 , 则它们相交于经过这一点的一 条公共直线 。 下面 用从特殊到一般的方法 , 逐步解决 本文提出的问题 。 对于正 方 体表 面上 的任意三 点 , 可 以把 它们分成两类情况 : 1 . 其中有两点在同一个面 (即同一个侧 面或底面)上 。 例 1 . 如图 , P 、 R 、 Q三 点分别在正方 体A BCD一A , B : C , D , 的棱A , D ; 、 C , C 、 BC上 , 求过 这三 点 的平面在正方 体表面 上 的截痕 。 画法 : (1 ) 连QR并延长交B ; C : 于 点H ; (2), . A , D ; 与B , C , 在同一平面上, . . 连PH交D : C : 于K点, (3) 丫K 与R在侧面D : C上 , . . 连KR , (4)延长 K P交A 、B: 于 8点 , 延长RQ 交B B , 于 G点 (5) S 、 G都在面A , B 上 , 连结SG交 AA , 于E 、 交 AB于F . 则E 、 F 、 Q 、 R 、 K 、 P六点都在 SG H的三条边上 , 所以这六点共 面 , 又 E 、 F 、 Q 、 R 、 K 、 P分别在 正方体AB CD 一A ; B ; C , D , 的表面上 , 所以六边形 E FQR K P是过P 、 Q 、 R三点的截面在正 方体表面 上的截痕 。 2 . 其中任意 两点都不在同一个平面内 (即不在同一个侧面或底面内) 。 例2 . 如图 , 过 正方体ABCD 一 A , B : C : D 上的三点P 、 Q 、 R作截面 。 分析 : 若找 出平面PQR与 棱A , A的交点 , 则问题转化 为第 一类情况 , 就容 易解决了 。 现在 一一, 尸尸 趁趁 一一 / / / 卜一 一 一 火火火火 孰孰 】 女 - - - 月月月月月 曰曰二- - - - - - - 主要是寻找这样的点 。 设P , 点是这样的点 , 则PQnRP I= F . 过F作FO土底面A C , 垂 足为O , 则FO就是过P 、 Q和 过R 、 P ; 的两 个平面垂直于底面 的交线 , 这样的交线 , 我 们是可 以作出的 。 作法 : (1)过P点作PE一AD , 连结QE 、 PQ ; (2)连结A C交QE于O点; (3)过O点作FO 上平面AC , 交PQ 于F点, 1985 年第一 期 解选择 题 的一点 浅见 章其昌 近年来 , 在各种 形式的考试 、 竞赛试题 中 , 选择题 因其题型 灵 活 、 解法新颖 、 涉及 知识面广 , 受到命题者的青睐而被广泛地采 用了 。 但一般 学生 目前仍以为它是一 份试题 的前奏 , 仅是命题者送分的一种手段 , 故不 重 视选择题的解题训练 , 实为偏见 。 例如 , 去 年3 5届美国中学 生数学邀请赛(AH SME ) 的试题 全 以选择题 形式出现 , 其中难度不见 得很高 , 但也决非唾手可得的送 分题 , 因 此 , 在中学数学教学中重视选择题的解题训 练势在必行 。 今年高考数学试题第一大题也由 5 个选 择题 组成 , 一些考生 不得其法而乱猜乱碰 , 或是同常规题一样逐一求解 , 浪费了不少时 间 。 笔者拟就怎样才能正确而 迅速地解答选 择题 谈一些浅见 。 下面以去年理工农医类高考数学试 题为 例 , 谈谈怎样正确思考和迅速求解 。 选择题 一般 由四个或五个答案组成 , 其中有且 仅有 一个是正确的 。 这一条往 往对我们解题有相 当奥妙 的 “ 暗示 ” 作用 。 据此 , 我们可以根 据题 设 的某些结论推得某些结论 , 从而否定 题中所给定的一个或几个结论 , 逐步将不正 确的结论剔除掉 , 获得一个正确的答案 。 例 1 . 数集X = (zn +1)兀 , n 是整 数与数集Y = (4k +1)北, k是整数 之间的关系是 (A )X CY , (B)YC X ; (C)X 二 Y ; (D )X并Y . 此题四个答案中 , 不难 发现若 (A )或 (B)成立 , 则必连同(D)也成立 , 于是 本题便有二个答案是正确的 了 ; 反 之 , (D) 成立 , 则(A )或(B)中必有一个亦成立 , 据题意这是 不可能的 , 易见正确答案为 (C) . 例2 . 如果圆x “ + y “ 十 G x + Ey + F 一0 与x轴相切于原点 , 那么 (A)F = O , G笋0 , E并0; (B)E = 0 , F = 0 , G并0; (C)G = 0 , F = 0 , E并0; (D) G = 0 , E = 0 , F护O 。 此 题四个答案中 , 易知圆x “+ y Z + G x + Ey 十 F = 0必过原 点, 则F 二o, 即可 剔除 (D );又因 圆与x轴相切于原点 , 即 圆心必在 Y轴上 , 则必有G 二 O, 这样又排斥了(A) 和(B) , 故剩下的答案(C)必是 正确的 。 例3 . 如果n是正 整数 , 那 么 1 百 1 一 (一1) ” (n , 一1) 的值 (A)一定是零 ; (B)一定是偶数; (C)是整数但不一定是偶数 , (D)不一定是整数 。 为叙述 简便 , 令 z一(一l)”(n 艺一 1) 二 5 . 易知 , 不论n取任何正整数 , 8 S , 故 香 s是整数 , 从 而剔除了(D);又显见n取奇数 8 z “目 刁 J/ , 、 刁“一, z 、 2目“ 叫 (4)连结F R , 并延长交A : A于P : 点, (5)连结P : Q 、 P , P , 以下可 用1 法, (6)过R点作R ; R/ /P ; Q , 交C : D : 于R ;, 连结P R :; (7)过R点作Q I R/ /P , P ,