优化初三数学复习课教学的实践与思考.doc

优化初三数学复习课教学的实践与思考 童桂恒（金华四中 浙江金华 321001）摘要：数学复习课是数学教学中一类基本的也是十分重要的课型.一堂高效的复习课不仅有利于学生掌握基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，而且有利于提高学生的数学素养。反思当前数学复习教学中存在的一些低效乃至无效的教学行为，复习课要从“选、讲、练”这3个维度去平衡把握，通过“精选问题，分层施教，变式拓展”等方法，真正实现减负增效之目的.关键词：复习教学；变式教学；分层教学；教学反思 数学复习课是初中数学教学中一类基本的也是十分重要的课型，要从“选、讲、练”这3个维度去平衡把握，要关注数学思维方法的训练，掌握数学的解题方法，同时也要注意纠正两种倾向：一是要避免“重思路引导，轻有效的巩固训练”；二是要避免“重策略探讨，轻必要的纠错过关”一节课的内容不要贪多，复习时既要重视每年必考的重点内容和相关典型问题，强化主干知识的训练1又要把握好重点内容与双基内容的复习时间与力度，反复训练，力求全面掌握，教后还要有跟进的题目加以巩固.一、精选例题，方法变式一道典型的例题，不仅具有巩固所学知识的作用，更有优化思维品质的功能.因此，教学中教师需要引导学生开展方法变式，在掌握通性通法的基础上，深刻分析命题条件的特殊性，使学生在问题的解决过程中对命题条件有本质的认识，从而达到会解一类题的目的例12 如图1所示，在ABC中，AB=AC，P为BC上的一动点，过点P作PDAB，PEAC垂足分别为D，E. CF为AB边上的高线求证：PD+PE=CF.分析：该例反映的是平面几何中常见的一个典型问题，一般采用常规解法，即截长补短法，来证明这个问题但是，通过详细分析发现，题设条件中包含着等腰三角形以及垂线段等特殊条件.因此，我们不禁要问，是否可以通过这些条件使证法更加简单呢？(a) (b) (c)图1 证法12（截长法）如图1(b)所示，过点P作PHFC于点H.易证四边形DPHF为矩形.因此，PD=FH.同理，易证RtPECRtCHP，从而PE=CH，进一步得 PD+PE=FH+CH=CF.证法22（截长法）如图1(c)所示，过点D作DKBC交CF于点K.那么，四边形DPCK是平行四边形.由平行四边形的性质知，PD=CK，DK=PC.因为DKBC，所以FDK=B=PCE.又因为DFK=CEP=90.所以RtDFK RtCEP.因此，FK=PE，进一步有PD+PE=CK+FK=CF.证法3（补短法）如图1(d)所示，过点C作CGDP，交点P的延长线于点G.那么四边形DGCF就是一个矩形. 因此，FC=DG=PD+PG.从而CGAB，进一步有PCG=B=ACP.因此，RtPGC RtPEC. 进而得PG=PE，FC=PD+PE.证法4（面积割补法）如图1(e)所示，连结AP. 因为 =ABPD， =ACPE， =ABCF，而且 +=,所以ABPD+ACPE=ABCF. 又因为AB=AC，所以PD+PE=CF.证法5（三角函数法）如图1所示，因为PBD，PCF和BCF均为Rt，因此，PD=PBB，PE=PCC，FC=BCB.又因为AB=AC，所以B=C，B=C.因此，PD+PE=PBB+PCC=（PB+PC）B=BCB=FC.证法62（比例化归法）如图1所示，容易证明R tPBDRtCBF.所以 = （1）因为 AB=AC，所以B=ACB.从而RtPCERtCBF.因此， = . （2）式（1）+式（2）得 +=+=1.因此， PD+PE=CF.反思上述证法：证法13采用的是通法，即求证“一条线段等于另外两条线段和”问题常规解法，是解决该问题的基本策略2；证法46则通过挖掘其特殊性，在解题过程中有机渗透数学的转化思想.例如：由高线想到“面积割补法”（证法4）；由等腰三角形的特殊性质两底角相等想到“三角函数法”（证法5）；由于3个相似三角形想到比例化归法（证法6）.学生在方法的变式中思维得到了发散，在证法的反思中分层得到了体现，教学的效果自然就得到了优化. 二、横联纵拓，题目变式在初三复习教学中，根据问题的特点，设置题目变式，横向通过类比联想，纵向通过拓展延伸，“充分挖掘知识之间的联系，激活学生头脑中原有的相关知识和经验”3，从而建构起新的知识、方法网络例24 如图2所示，在ABC中，分别作它的内角平分线CE和外角平分线CF，求ECF的度数.这是浙教版课标教材七（下）“1.2 三角形的角平分线和中线”P11页作业题第4题，当学生完成此题的解答后，我们可以通过横联纵拓，问题分层，使不同水平的学生在数学学习上得到的发展. 也可以通过横向类比联想，让学生带着问题去思考、画出图形，并引导学生归纳、总结，最后得到3种不同类型的图形（如图35），它们所体现的数学问题分别是4：问题1 三角形不在同一顶点处的内角平分线和外角平分线的夹角问题（如图3）；问题2 三角形两条内角平分线的夹角问题（如图4）；问题3 三角形两条外角平分线的夹角问题（如图5）.图5对于上述3个问题，教师根据图形继续提出问题：“在图3、图4、图5中的CPB与A之间，分别有着怎样的关系？”学生的思维再次被激发. 通过对问题1问题3的变式训练，可以有效地培养学生的数学发散思维能力，以及他们的创新意识. 如果以上述问题为背景，在原图形的基础上对问题结论的规律作进一步的探究（即纵向拓展延伸），那么学生不仅会一题，而且会一类，从而培养学生知识迁移的能力和应用知识解决问题的能力.问题4 如图6，在ABC中，A=，ABC的平分线与ACD的平分线交于点A1; A1BC的平分线与A1CD的平分线交于点A2; A2010BC的平分线与A2010CD的平分线交于点A2011则A2011为 .问题5 如图7，在ABC中，A1B、A1C分别平分ABC和ACB，A2B、A2C分别平分A1BC和A1CB, ,A2011B、A2011C分别平分A2010BC和A2010CB则A3和A有何关系？你能探究出A2011和A的关系吗？继续下去，若AnB、AnC分别平分An-1BC和An-1CB，你能用A表示出An吗？问题6 如图8，在ABC中，A1B、A1C分别平分ABC的外角DBC和ECB，A2B、A2C分别平分A1BC和A1CB, ,A2011B、A2011C分别平分A2010BC和A2011CB。则A3和A有何关系？你能探究出A2011和A的关系吗？继续下去，若AnB、AnC分别平分An-1BC和An-1CB，你能用A表示出An吗？三、精讲精练，过程变式过程性变式是指在数学活动过程中，通过有层次的推进，使学生在分步解决问题中，积累多种活动经验，实现发展学生智力，提高运用知识能力的教学活动.复习课要做到精讲精练是不容易的,“精讲”不能理解为“少讲”，而是该讲的重点、难点、关键点要讲深、讲透；“精练”也不等于“少练”，而是该练的精编或精选题要练足、练全例3 如图9，已知抛物线与轴的两个交点为，与y轴交于点 （1）求三点的坐标； （2）求证：是直角三角形；（3）若坐标平面内的点，使得以点和三点为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标（直接写出点的坐标，不必写求解过程） 这是一道集代数（二次函数、二次方程）、几何（直角三角形、平行四边形）等重点知识的中考试题，如何在讲授完该题之后，进一步拉长“知识链”，提出适合于不同层次学生需求的问题，使他们在解决问题的过程中积累起解题的经验，这需要教师课前进行精心的预设变式1 求抛物线分别关于y轴，x轴，原点O对称的抛物线的解析式（目的: 通过变式1可以清楚地认识到：有些图形的对称性问题不一定需要通过图形去求解，而是可以通过挖掘出题目中隐含的规律，运用新的解题方法解决问题线由点组成，线的对称可以转化为点的对称，因此，关于x轴对称，即将y用-y替换，x不变；关于y轴对称，将x用-x替换，y不变；关于原点对称，即将x用-x替换，将y用-y替换即可5.）变式2 求ABC的外接圆半径和内切圆半径变式3 点G为直角坐标平面内的一点，若以点A,B,C,G为顶点的四边形是矩形，求点G的坐标（目的: 变式2、3题为基础题，初三课堂教学要有一种保底意识，通过问题的分层，使一些暂时基础较差的学生学也有所获，而对基础较好的学生来说也能进一步打好知识基础.）变式4 在ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG（顶点D、E、F、G在ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由变式5 将AOC沿y轴对折后，再绕点C按逆时针旋转900得到CFE（点A与点E对应），判断点E是否在抛物线上，并说明理由变式6 设过点E的直线交AB边于点P，交BC边于点Q，使直线PQ分ABC的面积为13两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由变式7 在已知抛物线的对称轴上找一点P，使得APC的周长最小，求P点的坐标及APC的最小周长 （目的: 课堂教学要抓中间促两头，变式4-7题为中档题，这是我们复习教学中要下力气重点抓好的一档题，使一些暂时基础较差的学生“跳一跳也能摘得到”，而对基础较好的学生来说，这也是需要认真去做的问题.）变式8 若一个动点M自点P（0，1）出发，先到达对称轴上某点（设为点F）,最后运动到点C. 试确定使点M运动的总路径最短的点F的位置，并求出这个最短路程的长6变式9 若一个动点M自点P（0，1）出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F）,最后运动到点C. 试确定使点M运动的总路径最短的点E、点F的位置，并求出这个最短路程的长6变式10 若点Q是抛物线对称轴上的一个动点，点R是抛物线上的一个动点，使得以A,B,Q,R为顶点的四边形为平行四边形，求点R的坐标变式11 连结BC，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，当点D运动到什么位置时，BCD的面积最大，求此时点D的坐标和BCD的最大面积变式12 若平行于x轴的直线与该抛物线交与点H，K，且以HK为直径的圆与x轴相切，求此时圆的半径 （目的: 变式812题为稍难题，涉及最值问题、动点问题、分类讨论问题、转化思想、方程思想等都是初中数学中最为核心的数学问题、数学思想，课堂要有灵动，需要对每个层次学生的尊重，教学中既要有“保底”意识，也要有“探究”的勇气，教师要善于对已有的问题进行加工、变式、改造、整合，不断利用已有经验对问题进行变式推广、探索引申、提炼升华，以激发学生学习数学的兴趣，提升学生的创新思维能力.） 总之，数学复习课教学的优化这是一个永恒的话题，课堂的有效、高效是我们坚持不懈的追求。在复习课教学中，教师要以教材中的经典问题、生活中的数学问题、新颖别致的中考试题为切入点，充分挖掘典型问题的教学价值，通过变式教学、分层教学，使不同层次的学生在原有基础上都有所提高，使“不同的人在数学上得到不同的发展” 的理念得到体现；但在目前班级授课制下要真正做到教学面向全体学生实施分层教学、合理有效地进行变式教学，仍值得我们继续去研究和探索参考文献1 林丹群;庄静云;陈清华.2011年“华约”自主招生笔试试卷评析暨2012年备考建议J.福建中学数学, 2011(11):6-11