高等数学第一章的总结ppt课件

.,函数与极限,.,性质（闭区间上连续函数）,函数,极限（数列极限、函数极限）,连续（或间断）,内容,.,一、函数：,:函数的分类,函数,初等函数,非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数),代数函数,超越函数,有理函数,无理函数,有理整函数(多项式函数),有理分函数(分式函数),.,邻域:,.,绝对值:,运算性质:,绝对值不等式:,.,函数的特性：,有界,无界,1函数的有界性:,.,数列的有界性：,补充内容：,1.单调递增且有上界数列必有极限。2.单调递减且有下界数列必有极限。,.,2函数的单调性:,.,.,3函数的奇偶性:,偶函数,.,奇函数,.,函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,.,典型例题,例,解,.,例,解,故,.,思考题,.,思考题解答,设,则,故,.,二、极限,函数极限的统一定义,(见下表),.,.,思考题,.,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存在.,补充结论：,.,小结:,.,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例,.,解,例,(消去零因子法),.,例,解,(无穷小因子分出法),.,结论:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,.,例,解,先变形再求极限.,.,例.证明,证:利用夹逼准则.,且,由,.,例：,.,1.,求极限,解：,原式,2.求极限,提示：,原式,左边,=右边,.,故极限存在，,例：,设,且,求,解：,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，,故,利用极限存在准则,.,思考与练习,1.如何判断极限不存在?,方法1.找一个趋于的子数列;,方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.,2.已知,求,时,下述作法是否正确?说明理由.,设,由递推式两边取极限得,不对!,此处,.,例,解,.,意义：,.,定理:,意义,1.极限符号可以与函数符号互换;,.,定理:,注意:,该定理是上个定理的特殊情况.,.,无穷小（量）：,无穷小的性质;,无穷小的比较;,常用等价无穷小:,两个重要极限：,2.,1.,.,两个重要极限,或,.,思考与练习,填空题(14),.,例.求下列极限：,提示:,.,令,.,则有,复习:若,.,则,-2,填空题：,1.,2.,0,.,极限的计算方法：,1、极限的四则运算法则及其推论；2、多项式与分式函数代入法求极限;3、消去零因子法求极限;4、无穷小因子分出法(等价无穷小代换)求极限;5、利用无穷小运算性质求极限;6、利用左右极限求分段函数极限;7、复合函数极限运算法则;(尤其利用复合函数连续性)8、利用两边夹逼准则求极限;9、利用罗比达法则求极限;10、利用泰勒公式求极限;11、利用定积分求极限;12、利用无穷级数的性质求极限;,.,思考题:,在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？,与,是否有极限？,.,思考题解答:,没有极限,假设有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,.,思考题:,任何两个无穷小都可以比较吗？,.,思考题解答:,不能,例当时,都是无穷小量,但,不存在且不为无穷大,故当时,.,例,解,.,例：,.,例：,.,思考题：（如何做？）,.,说明:,对于形如:,的函数，,通常称为幂指函数,如果,那么有,.,思考题:,.,例.,解:,原式,例.求,.,例,解,解法讨论,典型例题,.,.,例：,.,例：,.,三、连续与间断,1.函数连续的等价形式,有,2.函数间断点,第一类间断点,第二类间断点,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,.,小结：,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:（左右极限都存在的间断点）.,第二类间断点:（左右极限至少有一个不存在的间断点）.,间断点,(见下图),.,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,.,闭区间连续函数的性质小结：,在,上有最大值与最小值;,上可取最大值与最小值之间的任何值;,3.若,使,至少存在一个,上有界;,在,在,.,思考题,.,思考题解答,且,.,但反之不成立.,例,但,.,例,解,.,.,例,证明,讨论:,.