2.4.2抛物线的几何性质.pptx

第二章圆锥曲线与方程,2.3.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质,三维目标,1知识与技能(1)掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；(2)能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；(3)在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化2过程与方法通过探究抛物线的几何性质，培养学生分析、解决问题的能力3情感、态度与价值观培养学生数形结合、化归和方程等思想，提高学生的综合能力,重点难点,重点抛物线的几何性质及其运用难点正确地根据方程讨论曲线的几何性质，并注意椭圆、双曲线、抛物线的性质的联系与区别,教学建议,1教学中要让学生掌握抛物线的定义及性质，注意借助平面几何的知识解决有关问题2最好让学生多掌握一些与抛物线有关的定点、定值问题的结论3教学时要注意挖掘圆锥曲线之间的内在联系与区别，而不要孤立和静止地看待抛物线在研究抛物线的几何性质时应采用对比的方法进行教学，让学生对照椭圆、双曲线的几何性质，去探求抛物线的几何性质,新课导入,导入我们在前面学习椭圆与双曲线时，根据它们的标准方程，可以得到它们的一些性质，那么根据抛物线的标准方程y22px(p0)可以得到抛物线的哪些几何性质呢？,预习探究,知识点抛物线的几何性质,2,0,2,0,0,2,0,2,向右,向左,向上,向下,预习探究,x=2,x=2,y=2,y=2,x0,yR,x0,yR,y0,xR,y0,xR,x轴,x轴,y轴,y轴,(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),e=1,e=1,e=1,e=1,思考(1)抛物线可看作是双曲线的一支吗?(2)抛物线与椭圆、双曲线统称为圆锥曲线,它有对称中心吗?,预习探究,解：(1)不能,因双曲线有渐近线,而抛物线没有渐近线,虽然抛物线越来越趋近于平行于对称轴,但任何一条平行于对称轴的直线与抛物线都有交点.(2)在椭圆、双曲线方程中,同时以-x代替x,-y代替y,方程不变,而在抛物线的方程中,作同样代换,方程则发生变化,所以抛物线没有对称中心.,备课素材,抛物线的几何性质抛物线的几何性质包括抛物线的焦点、准线、范围、对称轴、顶点、离心率、开口方向等，它的应用比较广泛，这一部分的题型仍以直线与抛物线的关系为载体，涉及求直线方程、弦长、平行、对称、最值等解题时，结合题意大胆设出参数和抛物线上点的坐标，利用条件化简整理，从而得以求解抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题过程中又容易忽视这些隐含条件，如抛物线的对称性、准线与对称轴垂直等解题时应注意挖掘并充分利用这些隐含条件,备课素材,(1)抛物线的标准方程有四种类型，抛物线焦点所在直线为抛物线方程的一次项，抛物线方程的系数符号决定着抛物线的开口方向(2)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线不能把抛物线看作是双曲线的一支虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线(3)抛物线只有一条对称轴，没有对称中心(4)抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线(5)抛物线的离心率是确定的，且为1.,考点一抛物线几何性质的应用导入(1)抛物线的性质和椭圆、双曲线的性质比较起来,差别比较大,它只有一个,一个,一条,一条,它没有中心,它的离心率不变,恒等于.(2)抛物线的焦点和准线分别在顶点的两侧,且它们到顶点的距离相等,均为.,考点类析,顶点,焦点,对称轴,准线,1,2,考点类析,例1(1)如图所示,等边三角形OAB的边长为83,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p0)上,则抛物线E的方程为.,解析依题意,|OB|=83,BOy=30.设B(x,y),则x=|OB|sin30=43,y=|OB|cos30=12.因为点B(43,12)在抛物线E:x2=2py(p0)上,所以(43)2=2p12,解得p=2,故抛物线E的方程为x2=4y.,答案x2=4y,考点类析,例1(2)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,且PAl,A为垂足,如果直线AF的斜率为-1,则|PF|=.,解析抛物线的方程为y2=8x,焦点为F(2,0),准线l的方程为x=-2.直线AF的斜率为-1,直线AF的方程为y=-x+2,由=2,=+2可得点A坐标为(-2,4).PAl,A为垂足,点P的纵坐标为4,代入抛物线方程,得点P坐标为(2,4),|PF|=|PA|=2-(-2)=4.,答案4,【变式】(1)抛物线C的顶点在原点,对称轴与椭圆9x2+4y2=36的短轴所在的直线重合,且抛物线C的焦点到其顶点的距离为3,则抛物线C的方程为.,考点类析,解析椭圆的方程可化为24+29=1,其短轴在x轴上,抛物线C的对称轴为x轴,设抛物线C的方程为y2=2px(p0)或y2=-2px(p0).抛物线的焦点到其顶点的距离为3,即2=3,p=6,抛物线C的标准方程为y2=12x或y2=-12x.,答案y2=12x或y2=-12x,考点类析,小结在抛物线的几何性质中,应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标.在解题时,应先注意开口方向、焦点位置,选准标准形式,然后运用条件求解.,考点二焦点弦的性质问题,考点类析,导入如图所示,AB是抛物线y2=2px(p0)过焦点F的一条弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),抛物线的准线为l.则有:(1)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即x1x2=,y1y2=.(2)|AB|=(焦点弦长与中点坐标的关系).(3)|AB|=.(4)若直线AB的倾斜角为,则|AB|=;当=90时,AB叫抛物线的通径,是焦点弦中最短的,且|AB|=2p.(5)以AB为直径的圆必与抛物线的准线l.,24,-p2,20+2,x1+x2+p,2sin2,相切,考点类析,例2已知抛物线y2=8x的焦点为F,过点F作倾斜角为60的直线l.(1)求直线l的方程;(2)求直线l被抛物线所截得的弦长.,解：(1)由题知,抛物线y2=8x的焦点F的坐标为(2,0),直线l的斜率k=3,代入点斜式方程得y=3(x-2),所以直线l的方程为3x-y-23=0.(2)设直线l与抛物线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),由2=8,323=0,得3x2-20 x+12=0,所以x1+x2=203.由抛物线的定义,可得|AB|=x1+x2+p=323,即直线l被抛物线所截得的弦长为323.,考点类析,小结对于抛物线的焦点弦,应熟悉一些常见的结论,并可直接应用于选择题和填空题的解答中,如设AB是过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的一条弦,A(x1,y1),B(x2,y2)(点A,B为直线与抛物线的交点),则有:y1y2=-p2;x1x2=24;|AB|=x1+x2+p=2sin2(为直线AB的倾斜角).,答案B,1.抛物线y=24的准线方程为()A.x=-1B.y=-1C.x=-116D.y=-116,当堂自测,答案B,解析由抛物线的方程y2=4x可得p=2,故它的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由中点坐标公式可得PQ的中点为M1+22,1+22,因为x1+x2=6,所以M到准线的距离为1+22+1=4.,2.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则PQ的中点M到抛物线的准线的距离为()A.5B.4C.3D.2,当堂自测,答案B,解析如图,抛物线的焦点为F2,0,准线是l:x=-2.作PHl于点H,交y轴于点Q,那么|PF|=|PH|,且|QH|=|OF|=2.取PF的中点M,作MNy轴于点N,则MN是梯形PQOF的中位线,|MN|=12(|OF|+|PQ|)=12|PH|=12|PF|.故以PF为直径的圆与y轴相切.,3.P为抛物线y2=2px(p0)上任一点,F为焦点,则以PF为直径的圆与y轴()A.相交B.相切C.相离D.位置由P确定,当堂自测,4.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛