导数与函数的最值及在生活实际中的优化问题

导数与函数的最值及在生活实际中的优化问题,温馨提示:请点击相关栏目。,整知识萃取知识精华,整方法启迪发散思维,考向分层突破一,考向分层突破二,考向分层突破三,考向分层突破四,1函数的最值,(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤为求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f(x)在a，b上的最值,整知识,考点分类整合,结束放映,返回导航页,2利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤,结束放映,返回导航页,最值与极值的区别与联系,(1)“极值”是个局部概念，是一些较邻近的点之间的函数值大小的比较，具有相对性；“最值”是个整体概念，是整个定义域上的最大值和最小值，具有绝对性(2)最值和极值都不一定存在，若存在，函数在其定义域上的最值是唯一的，而极值不一定唯一(3)极值只能在定义域内部取得，而最值还可能在区间端点处取得(4)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值,整方法,考点分类整合,结束放映,返回导航页,例1.已知函数f(x)ax3x2bx(a、b为常数)，g(x)f(x)f(x)是奇函数1)求f(x)的表达式；2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值、最小值,解析：(1)由已知，f(x)3ax22xb，因此g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.g(x)为奇函数，g(x)g(x)，,(2)由(1)知g(x)x32x，g(x)x22.令g(x)0，解得x1，x2，当x(，)，(，)时，g(x)单调递减，当x(，)时，g(x)单调递增，又g(1)，g()，g(2)，g(x)在区间1,2上的最大值为g()，最小值为g(2)=.,考向分层突破一：利用导数求解函数的最值,结束放映,返回导航页,同类练：设函数f(x)alnxbx2(x0)，若函数f(x)在x1处与直线y相切，(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值,结束放映,返回导航页,变式练：2.已知函数f(x)lnxax(a0)求函数f(x)在1,2上的最小值,综上可知，当0a0)，,(1)当1，即a1时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln22a.,(2)当2，即0a时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a.,(3)当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln2a，所以当aln2时，最小值是f(1)a；当ln2a0)，贷款的利率为4.8%，且银行吸收的存款能全部放贷出去，试确定当存款利率定为多少时，银行可获取最大收益？,解析：设存款利率为x，则应有x(0,0.048)，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，所以银行的收益是y0.048kx2kx3.由于y0.096kx3kx2，令y0，得x0.032或x0(舍去)，又当00；当0.032x0恒成立若x0，a为任意实数，f(x)exax0恒成立若x0，f(x)exax0恒成立，即当x0时，a恒成立设Q(x).Q(x)当x(0,1)时，Q(x)0，则Q(x)在(0,1)上单调递增，当x(1，)时，Q(x)0恒成立，a的取值范围为(e，),结束放映,返回导航页,又x0，axlnxx3.,x(1，)时，h(x)0，h(x)在(1，)上单调递减h(x)h(1)20，即g(x)0，,g(x)在(1，)上也单调递减g(x)g(1)1，当a1时，f(x)x2在(1，)上恒成立,同类练1已知函数f(x)lnx.若f(x)x2在(1，)上恒成立，求a的取值范围,解析：f(x)x2，lnx0，f(x)0，所以f(x)的单调增区间为(0，),解析：(1)由已知得f(x)2(x0)，所以f(1)213，所以斜率k3.,(2)f(x)a(x0)，,结束放映,返回导航页,(3)由已知知所求可转化为f(x)maxg(x)max.g(x)(x1)21，x0,1，所以g(x)max2，,由(2)知，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，值域为R，故不符合题意,当a0，在区间上，f(x)0，所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.,当a1ln(a)，解得a0，g(x)单调递增，g(1)k10时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)h(x)在(0,2)单调递减，在(2，)单调递增，所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)没有实根,综上，g(x)0在R有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点,结束放映,返回导航页,解析：f(x)(2a)(x1)2lnx，令m(x)(2a)(x1)，x0；h(x)2lnx，x0，则f(x)m(x)h(x)，,由得a24ln2，amin24ln2.,跟踪练：已知函数f(x)(2a)x2(1lnx)a，若函数f(x)在区间上无零点，求实数a的最小值,(2)当a2时，在上m(x)0，h(x)0，f(x)在上无零点,(1)当a2时，m(x)在上为增函数，h(x)在上为增函数，,若f(x)在上无零点，则mh.即(2a)（1）2ln，a24ln2，24ln2a2，,结束放映,返回导航页,利用导数研究方程根的方