河北省新乐市第一中学高中数学 第三章 空间向量与立体几何例题解析 新人教版选修2-1（通用）

空间向量与立体几何一、选择问题在(2020南昌模拟)空间中，已知=(2，4，0 )，=(-1，3，0 )，ABC的大小为()A.45 B.90C.120 D.135【解析】通过=(-2，- 4，0 )、=(-1，3，0 )得到cos:*=-，此外，022222222222222222226ABC=135。【回答】d2.(2020山东大学入学考试)已知三角柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为底面积为边长的正三角形。 如果p是底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成的角的大小为()A. B .C. D画三角柱ABCA1B1C1，制作PA与平面ABC所成的角，解三角形求角如图所示，如果p是正三角形A1B1C1中心，o是ABC的中心，则可知如果连接PO平面ABC、OA，则PAO是PA与平面ABC所成的角.在正三角形ABC中，AB=BC=AC=，S=()2=，VABCA1B1C1=SPO=，PO=此外，ao=1，8756； tanpao=PAO=【回答】b3 .在四角锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD平面ABCD，AB=PD=a .点e是侧棱PC中点，作为DFPB与点f .相交时，PB与平面EFD所成的角为()A.30 B.45C.60 D.90【解析】若将图那样的空间正交坐标系Dxyz，d设为坐标原点，则为p (0，0，a )，B(a，a，0 )，=(a，a，-a )，另外=0fu 0所以PBDE .是已知DFPB，还是DFDE=D因此，由于是PB平面EFD，所以PB和平面EFD所成角度是90【回答】d4 .如果在立方体ABCDA1B1C1D1中点e是BB1的中点，则平面A1ED和平面ABCD之间的锐二面角的馀弦值为()A. B .C. D【解析】如图所示，以a为原点构筑空间正交坐标系。假设奥桑长度为1a1(0，0，1 )，e，d (0，1，0 )表示所以=(0，1，-1)=、设平面A1ED一个法线向量为n1=(1，y，z )所以呢n1=(1，2，2 )假设平面ABCD的一个法线向量为n2=(0，0，1 )所以|cosn1，n2|=即，平面A1ED与平面ABCD所成锐角的馀弦值为b .【回答】b5.P是二面角-ab-棱上的一点，分别在、平面上绘制PM、PN，设BPM=BPN=45、MPN=60时，二面角-ab-的大小为（）A.60 B.70C.80 D.90【解析】设PM=a、PN=b，设MEAB为点e、NFAB为点f，则成为图像。因为EPM=FPN=45PE=a，PF=b所以=(-)(-)=-=abcos 60-abcos 45-abcos 45 ab=-=0所以二面角AB的大小是90【回答】d二、填空问题6 .已知的a=(2，- 1，1 )，b=(-1，4，-2)，c=(11，5，) .如果向量a，b，c齐平，则=_【解析】从向量a、b、c的共面得到c=xa yb(x，yR )故有所解【回答】17.(2013湛江模拟)已知的空间为四点o、a、b、c、=0，且|=|=|、=，OM与平面ABC所成的角的正切值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _由标题可知，OA、OB、OC是两个垂直的，如图所示，如果确立空间正交坐标系，并将OA=OB=OC=1，则a (1，0，0 )、b (0，1，0 )、c (0，0，1 )、m (，0 )，因此为=(-1，1，0 )、=(-1，0，1 )、=(，0 ) .设平面ABC法线向量为n=(x，y，z )时因此，当x=1时，平面ABC一个法线向量为n=(1，1，1 ) .因此，OM与平面ABC所成角的正弦值为正切值.【回答】8 .如图4-3-11、立方体ABCDA1B1C1D1所示，有以下4个命题图4-3-11P在直线BC1上移动时，三角锥AD1PC的体积不变P在直线BC1上移动时，直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变P在直线BC1上移动时，二面角PAD1C的大小不变m是平面A1B1C1D1上点d与C1的距离相等的点，m点的轨迹是超过D1点的直线.其中真命题的编号是_ (写出所有真命题的编号)。【解析】因为是BC1AD1，所以从BC1平面ACD1、BC1上的任意点到平面ACD1的距离一定，所以VAD1PC=VPACD1一定，从正确的p到面ACD1的距离不变，但是AP的长度发生变化，所以AP与面ACD1所成的角度由于是错误面PAD1即面abcc1d1，因此面abcc1d1与面ACD1所成二面角的大小不变，正确的m点的轨迹为A1D1，正确【回答】三、解答问题9.(2020江门模拟)在图4-3-12、直角梯形ABCD中，设ABCD、ABBC、AB=1、BC=2、CD=1、过a为AECD，脚为E.F、g分别为CE、AD的中点。 在此，ADE沿着AE折叠，设二面角DAEC的平面角为135图4-3-12(1)求证：平面DCE平面ABCE；(2)求出直线FG与平面DCE所成角的正弦值。【解】(1)证明：DEAE、CEAE、DECE=E、DE、ce平面CDEAE平面CDEae平面ABCE平面DCE平面ABCE .(2)以e为原点，有EA、EC的直线分别为x、y轴，制作空间正交坐标系111121000航空航空航空653dec是二面角DAEC的平面角，DEC=135AB=1，BC=2，折弯前CD=1，折弯前后CE=1，DE=不变a (2，0，0 )、b (2，1，0 )、c (0，1，0 )、e (0，0，0 )、D(0，- 1，1 )F、g分别是CE、AD的中点f，g=，=(-2，0，0 )为由(1)可知是平面DCE的法线向量若将直线FG与平面DCE所成角设为sin =直线FG与平面DCE所成角的正弦值10.(2020四川大学入学考试)如图4-3-13所示，在三角柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1底面ABC、AB=AC=2AA1、873bac=120、d、D1分别是线段BC、B1C1中点，p是线段AD的中点.图4-3-13(1)在平面ABC内，试制点p与平面A1BC平行直线l，说明理由，证明直线l平面ADD1A1(2)将(1)中直线l设为点m、将AC设为点n，求出二面角A-A1M-N的馀弦值.(1)如图(1)所示，在平面ABC内，通过点p为直线lBC，l为平面A1BC外，BC为平面A1BC内，从直线与平面平行判定定理可知，l平面A1BC .因为AB=AC，d是BC的中点所以BCAD、直线lAD .因为AA1平面ABC，所以AA1l .另外，AD、AA1位于平面ADD1A1内，AD与AA1相交直线l平面ADD1A1 .(1)如图所示，若将通过点A1设为A1E而与C1B1平行，将点A1设为坐标原点，将各个方向设为x轴、y轴、z轴正方向来制作空间正交坐标系Oxyz (点o与点A1重叠)，则成为a1(0，0，0 )、a (0，0，1 ) .(2)因为p是AD的中点m、n分别为AB、AC中点m，n因此，=，=(0，0，1 )，=(，0，0 )。设平面AA1M一个法线向量为n1=(x1，y1，z1 )即，即有故因此当x1=1时，y1=-，因此n1=(1，-，0 ) .设平面A1MN一个法线向量为n2=(x2、y2、z2 )即，即有故因此当y2=2时，z2=-1，因此n2=(0，2，-1) .将二面角A-A1M-N平面角设为，将设为锐角cos =。=.二面角A-A1M-N馀弦值为11.(2020济南仿真)已知四边形ABCD为菱形，873.bad=60，四边形BDEF为矩形，平面BDEF平面ABCD、g、h分别是CE、CF的中点图4-3-14(1)寻求证据：平面AEF平面BDGH(2)如果平面BDGH与平面ABCD所成角为60，则求出直线CF与平面BDGH所成的角的正弦值.【解】(1)G、h分别在CE、CF的中点EFGH连接AC和BD的交叉点o是AC的中点，因为四边形ABCD是菱形OG、OG连接三角形ACE的中央线、OGAE另外，如果EFAE=E，GHOG=G，则为平面AEF平面BDGH .(2)BFBD、平面BDEF平面ABCDBF平面ABCD .取EF的中点n，则为ONBF，ON平面ABCD构成空间的正交坐标系如图所示，设AB=2，BF=t(t0)b (1