河南省豫南九校2020学年高二数学上学期第三次联考试题 理

豫南九校2020学年上期第三次联考高二数学（理）试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“若，则”的逆命题是（ ）A若，则 B若，则C若，则D若，则2.椭圆的长轴长是（ ）A2 B C4 D3.若，满足，则的最大值为（ ）A0 B3 C4 D5 4.数列的通项公式为，当取到最小时，（ ）A5 B6 C. 7 D85.过抛物线的焦点作与对称轴垂直的直线交抛物线于，两点，则以为直径的圆的标准方程为（ ）A B C. D6.当时不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C. D7.成等差数列的三个正数的和等于12，并且这三个数分别加上1，4，11后成为等比数列中的，则数列的通项公式为（ ）A B C. D8.的内角，的对边分别为，若，则（ ）A1或2 B2 C. D19.等差数列中，则是的（ ）A充要条件B充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D既不充分也不必要条件10.在中，若，则圆与直线的位置关系是（ ）A相切 B相交 C.相离 D不确定11.设的内角，所对边的长分别为，若，且，则的值为（ ）A B C. 2 D412.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点，为抛物线上的任一点，过点作圆的切线，切点分别为，则四边形的面积最小值为（ ）A B C. D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.抛物线（且）的焦点坐标为 14.内角，的对边分别为，若，则 15.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列满足：，记其前项和为，设（为常数），则 （用表示）16.已知等比数列的前项和，则函数的最小值为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）求抛物线上的点到直线的距离的最小值.18.（本小题满分12分）已知等差数列的公差为，且关于的不等式的解集为.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列前项和.19.（本题满分12分）已知的内角，满足.（1）求角；（2）若的外接圆半径为1，求的面积的最大值.20.（本小题满分12分）（1）解不等式；（2）已知，求证：.21.（本小题满分12分）已知命题，.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若有命题，当为真命题且为假命题时，求实数的取值范围.22.（本小题满分12分）已知，点是动点，且直线和直线的斜率之积为.（1）求动点的轨迹方程；（2）设直线与（1）中轨迹相切于点，与直线相交于点，且，求证：.豫南九校2020学年上期第三次联考高二数学（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1-5: ADCCB 6-10: AABBA 11、12：CD1. 【解析】命题的逆命题需将条件和结论交换，因此逆命题为：若，则.2. 【解析】椭圆方程变形为，长轴长为.3. 【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，所求最大值为4，故选.4. 【解析】数列的通项公式，数列为公差为3的递增的等差数列，令可得，数列的前7项为负数，从第8项开始为正数取最小值时，为7，故选.5. 【解析】由抛物线的性质知为通径，焦点坐标为，直径，即，所以圆的标准方程为，故选.6. 【解析】，当且仅当即时等号成立，所以最小值为3，实数的取值范围是7. 【解析】设成等差数列的三个正数为，即有，计算得出，根据题意可得，成等比数列，即为，8，成等比数列，即有，计算得出（舍去），即有4，8，16成等比数列，可得公比为2，则数列的通项公式为.8. 【解析】，由正弦定理得：，由余弦定理得：，即，解得：或（经检验不合题意，舍去），则，故选. 9. 【解析】由等差数列的性质知：，时成立.反之：等差数列为常数列，对任意成立，故选.10. 【解析】因为，所以，圆心到直线的距离，故圆与直线相切，故选.11. 【解析】由可得，从而，解得，从可联想到余弦定理：，所以有，从而.再由可得，所以的值为2.12. 【解析】由题意可知抛物线的方程为，圆的圆心为，半径为.设，则.所以当时，切线长取得最小值，此时四边形的面积取得最小值，最小值为，故选.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 14. 15. 16.1613. 【解析】由题意可得，所以焦点在轴上，且则焦点坐标为.14. 【解析】方法一：，即，.方法二：，.15. 【解析】.16. 【解析】因为，而题中，易知，故；所以，即，等号成立条件为，所以最小值为16.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 【解析】法一：如图，设与直线平行且与抛物线相切的直线为，切线方程与抛物线方程联立得去整理得，则，解得，所以切线方程为，抛物线上的点到直线距离的最小值是这两条平行线间的距离.法二：设，则点到直线的距离，在抛物线中，所以当时，取得最小值，即抛物线上的点到直线距离的最小值是18. 【解析】（1）由题意，得解得故数列的通项公式为，即.（2）由（1）知，所以所以，19. 【解析】（1）设内角，所对的边分别为，.根据，可得，所以，又因为，所以.（2），所以，所以（时取等号）.故三角形面积最大值为20. 【解析】（1）由不等式，得，即，解得，或（2）因为，所以当且仅当时等号成立.21. 【解析】（1），且，解得，为真命题时，.（2），.又时，.为