浅谈导数的应用问题 人教版

导数的应用张红彬秭归县屈原中学443600邮箱：用导数求函数的最大(最小)值和函数在连续区间a，b的最大值和最小值，或用导数法解决一些实际应用问题，是函数内容的继续和延伸。这种解题方法简化了复杂的问题，逐渐成为新高考的又一热点。应该使用以下知识来解决这些问题：1 f(x)在一定的区间内是可导的，如果f(x) 0，f(x)是增函数；如果f (x) 0，f (x)是一个减法函数2要找到一个函数的极值点，应该首先导出导数，然后使y=0以获得所有导数为0的点(导数为0的点不一定是极值点，如y=x3，当x=0时，导数为0，但不是极值点)。导数为0的点是否为极值点取决于该点左右两边的增减，即两边y的符号。如果符号改变了，该点就是极值点；如果符号不变，那么函数的极值点不一定是导数为0的点，但可用函数的极值点必须有导数为0。可导函数的最大值可以通过将(a，b)中的极值与端点的函数值进行比较来获得，但是不可导函数的极值有时可以在函数不可导的点处获得。因此，一般连续函数也必须与不存在导数的点的函数值进行比较，例如y=|x|，在x=0时不可导数，但它是最小值(一)典型示例演示例1已知当x=1，f (1)=-1时，f(x)=ax3 bx2 cx(a0)达到极值(1)尝试找出常数a、b和c的值；(2)尝试判断x=1是函数的最小值还是最大值，并解释原因该命题意在用一阶导数来寻找函数的最大值和最小值，这是导数应用的关键知识点。通过函数极值的确定，学生可以加深对函数单调性及其导数之间关系的理解。基于知识的问题解决的成功取决于正确思维的选择。从逆向思维的角度出发，逆向联想是根据问题的结构进行的。问题的转化得以合理实现，抽象问题得以具体化。这是解决问题的闪光点。错误解分析的难点在于，在推导之后，f(1)=0的隐含条件将不被应用，从而造成解决问题的最大思维障碍。检验函数f(x)是实数域中的一个可导函数。可能的极值可以先通过求导来确定。然后通过极值点与导数的关系，建立了由极值点x=1确定的等价关系，并用待定系数法进行了评价解决方案(1) f (x)=3x22bxcx=1是函数f(x)的极值点，x=1是等式f(x)=0中的两个，即3ax2 2bx c=0从根和系数的关系，我们可以得到f (1)=-1， ab c=-1，3从 ，a=，(2)f(x)=x3-x，f(x)=x2-=(x-1)(x 1)当x 1时，f (x) 0当-1 x 1，f (x) 0时函数f(x)在(-，-1)和(1，)上是一个增函数，在(-1，1)上是一个减函数当x=-1时，函数获得最大值f (-1) x=-1。当x=1时，函数得到最小值f (1)=-1例2在工厂a和工厂b中，工厂a位于直河岸的河岸a上，工厂b和工厂a位于河的同一侧，工厂b位于离河岸40公里处，工厂b位于离河岸50公里处的垂直脚d和a处，这两个工厂将在此河岸上共同建造一个供水站c， 从供水站到工厂a和工厂b的水管成本分别是每公里3a和5a，询问供水站c建在河岸的什么地方以节省水管成本。命题意图学习的目的是将其应用于实践。本课题主要考察学生运用衍生知识解决实际问题的意识、思维方法和能力。依靠知识解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，将“问题情景”转化为数学语言技巧和方法：根据问题设置条件制作图形，分析已知条件之间的关系，合理选择这些条件之间的连接方式，适当选择变化，并借助图形的特点构建相应的功能关系解决方案1:根据问题的含义，只有c点可以在线段AD的适当位置保存总运费。如果c点距离d点x公里，那么* BD=40，AC=50-x，BC=还把水管总费用定为y元，根据问题的意思是y=30(5a-x) 5a (0x50)Y=-3a，让y=0，得到x=30在(0，50)，Y只有一个极值点。根据实际问题的含义，该函数在x=30(公里)处获得最小值，其中交流=50-x=20(公里)供水站建在距离a厂20公里的a和d之间，这样可以最大限度地节约水管费用。解2假设BCD=Q，然后BC=，CD=40余，(0 )，AC=50-40cot假设总水管成本为f()。根据主题，有f()=3a(50-40cot) 5a=150a 40af()=40a如果f()=0，cos=根据问题的实际含义，当cos=函数获得最小值时，此时的sin=,cot=， AC=50-40 cot =20 (km)，也就是说，供水站建在距离a厂20 km的a和d之间，这样可以最大限度地降低水管成本。例3: f(x)=x2 c是已知的，f f (x)=f (x21)(1)设g(x)=f f (x)，并求出g(x)的解析表达式；(2)设(x)=g (x)- f (x)，并问是否有实数，以便(x)是(-，-1)中的减函数和(-1，0)中的增函数解(1) f f (x)=f (x2c)=(x2c) 2c来自问题的含义f(x2 1)=(x2 1)2c，ff(x)=f(x2 1)(x2 c)2 c=(x2 1)2 c，x2 c=x2 1,c=1f(x)=x2 1，g(x)=ff(x)=f(x2 1)=(x2 1)2 1(2)(x)=g(x)-f(x)=x4(2-)x2(2-)如果满足该条件，则(x)=4x 32(2-)x函数(x)是(-，-1)上的负函数，当x -1， (x) 0也就是说，4x32 (2-) x -4x2，x-1,-4x2-4 2 (2-) -4，解4函数(x)是(-1，0)的增函数当-1 x 0也就是说，对于x (-1，0)，4x2 (2-) x 0是常数2(2-)-4x2，-1x0,-44x2 0且a1)4在半径为r的圆内，内接一个等腰三角形。当底部高度为_ _ _ _ _ _时，其面积最大。设f(x)=ax3 x正好有三个单调区间，试着确定a的取值范围并找出它的单调区间设x=1和x=2是函数f(x)=alnx bx2 x的两个极值点(1)尝试确定常数a和b的值；(2)尝试判断x=1和x=2是函数f(x)的最大值还是最小值，并解释原因众所周知，a和b是实数，b a e，其中e是自然对数的基数。验证ab ba8设x上的方程2x2-ax-2=0中的两个是， ( )，函数f(x)=1(1)求出f()f()的值；(2)证明f(x)是，上的增函数；(3)当a是什么值时，区间，中f(x)的最大值和最小值之差是最小的？(3)参考答案对1的分析是从=-1开始的，因此存在包含0的区间(a，b)，因此当x (a，b)和x 0 或x 1，当x logae 0，6x5 0，(3x-1) (x2) 0，函数f(x) 0，函数f(x)是递增函数，当x -2时，f(x)0函数f(x)是(-，-2)上的负函数(2)如果0 a f (x) 0，8756；f (x)是(，)上的减函数，当x 0时， f (x)在(-，-2)上增加函数回答(-，-2)4解析地将圆内接的等腰三角形底边的长度设置为2x，高度设置为h，那么h=AO BO=R，解是X2=h (2r-h)，所以内接三角形的面积是S=xh=因此设S=0，解为h=r。由于不考虑不存在性，下列列在区间(0，2R)上h(0，R)r(，2R)s0-S递增函数最大值下降函数表格显示，当x=R时，等腰三角形的面积最大。回答r5溶液f(x)=3 ax2 1如果a 0，f (x) 0对于x (-，)是常数，此时，f(x)只有一个单调区间，这是矛盾的如果a=0，f (x)=1 0， x (-，)，f (x)也只有一个单调区间，这是矛盾的如果a 0，87f (x)=3a(x)(x-)，此时，f(x)正好有三个单调区间 a 0且单调递减区间为(-，-)和(),单调递增的间隔是(-，)6溶液f(x)=2bx 1(1) f(1)=f(2)=0是从极值点的必要条件已知的。也就是说，2b 1=0，4b 1=0，a=-，b=-，f(x)=-lnx-x2十(2) f (x)=-x-1-x1，当x(0，1)时，f (x) 0时，当x(2，)，f (x) ba，只需要blnaalnb。设f (b)=blna-alnb (b e)，然后f(b)=lna-b a e， lna 1，而 0函数F (b)=BLNA-ALNB是(e，)上的增函数， f (b) f (a)=alna-alna=0，即blna-alnb 0。blnaalnb,abba第二种证明方法是证明ab ba，只要blna alnb