湖北省监利县第一中学高中数学 3.1柯西不等式（一）导学案（无答案）新人教版选修4-5_第1页
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31柯西不等式（一）【学习目标】1、认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义。2、通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题。【重点难点】柯西不等式的简单应用一、自主学习要点1：二维形式的柯西不等式(1)定义：若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2) ，当且仅当adbc时，等号成立要点2：(2)二维形式的柯西不等式的一些变式变式1: |acbd|(当且仅当adbc时，等号成立)变式2：(ab)(cd)()2.(a，b，c，dR，当且仅当adbc时，等号成立)变式3: |ac|bd|(当且仅当|ad|bc|时，等号成立)要点3柯西不等式的向量形式设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立要点4(1)二维形式的三角不等式设x1，y1，x2，y2R，那么 .（2）设平面上三点坐标为A(a1，a2)、B(b1，b2)、C(c1，c2)，则，其几何意义为：|AB|BC|AC|.（3）设，为平面向量，则|，等号成立的充要条件为()(0)二、合作，探究，展示，点评题型一利用柯西不等式证明不等式【例1】 已知3x22y26，求证：2xy.【变式1】 已知x，y，a，bR，且1，求证xy()2.【变式2】设：a,b，a+b=1，求证【例2】 已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1a2b2)(a1a2)2.【变式2】 利用柯西不等式证明：2.题型二利用柯西不等式求函数的最值【例3】 求函数y5的最大值三、知识小结柯西不等式一课时作业一、选择题1若a，bR，且a2b210，则ab的取值范围是()A2，2 B2，2C， D，2已知4x25y21，则2xy的最大值是()A. B1C3 D93已知x，yR，且xy1，则的最小值为()A4 B2C1 D.4设a、bR，且ab，P，Qab，则()APQ BPQCPQ DPQ二、填空题5函数y2的最大值是_6设a，b，c，d，m，n都是正实数，P，Q ，则P与Q的大小_7函数y2cos x3的最大值为_8函数y2的最大值为_三、解答题9若2x3y1，求4x29y2的最小值，并求出最小值点10设
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