高一数学必修5数列经典例题(裂项相消法)

2（2014成都模拟）等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（）求数列an的通项公式；（）设bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列的前n项和解：（）设数列an的公比为q，由a32=9a2a6有a32=9a42，q2=由条件可知各项均为正数，故q=由2a1+3a2=1有2a1+3a1q=1，a1=故数列an的通项式为an=（）bn=+=（1+2+n）=，故=2（）则+=2（1）+（）+（）=，数列的前n项和为7（2013江西）正项数列an满足（2n1）an2n=0（1）求数列an的通项公式an；（2）令bn=，求数列bn的前n项和Tn解：（1）由正项数列an满足：（2n1）an2n=0，可有（an2n）（an+1）=0 an=2n（2）an=2n，bn=，bn=，Tn=数列bn的前n项和Tn为6（2013山东）设等差数列an的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足=1，nN*，求bn的前n项和Tn解：（）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1有：，解有a1=1，d=2an=2n1，nN*（）由已知+=1，nN*，有：当n=1时，=，当n2时，=（1）（1）=，n=1时符合=，nN*由（）知，an=2n1，nN*bn=，nN*又Tn=+，Tn=+，两式相减有：Tn=+（+）=Tn=328（2010山东）已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26an的前n项和为Sn（）求an及Sn；（）令（nN*），求数列bn的前n项和Tn解：（）设等差数列an的公差为d，a3=7，a5+a7=26，有，解有a1=3，d=2，an=3+2（n1）=2n+1；Sn=n2+2n；（）由（）知an=2n+1，bn=，Tn=，即数列bn的前n项和Tn=25（2008四川）在数列an中，a1=1，（）求an的通项公式；（）令，求数列bn的前n项和Sn；（）求数列an的前n项和Tn解：（）由条件有，又n=1时，故数列构成首项为1，公式为的等比数列，即（）由有，两式相减，有：，（）由有Tn=2Sn+2a12an+1=3（2010四川）已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4（）求数列an的通项公式；（）设bn=（4an）qn1（q0，nN*），求数列bn的前n项和Sn解：（1）设an的公差为d，由已知有解有a1=3，d=1故an=3+（n1）（1）=4n；（2）由（1）的解答有，bn=nqn1，于是Sn=1q0+2q1+3q2+nqn1若q1，将上式两边同乘以q，有qSn=1q1+2q2+3q3+nqn上面两式相减，有（q1）Sn=nqn（1+q+q2+qn1）=nqn于是Sn=若q=1，则Sn=1+2+3+n=，Sn=4（2010四川）已知数列an满足a1=0，a2=2，且对任意m、nN*都有a2m1+a2n1=2am+n1+2（mn）2（1）求a3，a5；（2）设bn=a2n+1a2n1（nN*），证明：bn是等差数列；（3）设cn=（an+1an）qn1（q0，nN*），求数列cn的前n项和Sn解：（1）由题意，令m=2，n=1，可有a3=2a2a1+2=6再令m=3，n=1，可有a5=2a3a1+8=20（2）当nN*时，由已知（以n+2代替m）可有a2n+3+a2n1=2a2n+1+8于是a2（n+1）+1a2（n+1）1（a2n+1a2n1）=8 即bn+1bn=8bn是公差为8的等差数列（3）由（1）（2）解答可知bn是首项为b1=a3a1=6，公差为8的等差数列则bn=8n2，即a2n+1a2n1=8n2另由已知（令m=1）可有an=（n1）2an+1an=2n+1=2n+1=2n于是cn=2nqn1当q=1时，Sn=2+4+6+2n=n（n+1）当q1时，Sn=2q0+4q1+6q2+2nqn1两边同乘以q，可有qSn=2q1+4q2+6q3+2nqn上述两式相减，有（1q）Sn=2（1+q+q2+qn1）2nqn=22nqn=2Sn=2综上所述，Sn=16（2009湖北）已知数列an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16（1）求数列an的通项公式；（2）数列an和数列bn满足等式an=（nN*），求数列bn的前n项和Sn解：（1）设等差数列an的公差为d，则依题意可知d0由a2+a7=16，有，2a1+7d=16由a3a6=55，有（a1+2d）（a1+5d）=55由联立方程求，有d=2，a1=1/d=2，a1=（排除）an=1+（n1）2=2n1（2）令cn=，则有an=c1+c2+cnan+1=c1+c2+cn+1两式相减，有an+1an=cn+1，由（