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文档简介
.,1,寻找最速降线,2,数学给我们一个用之不竭,充满真理的宝库,这些真理不是孤立的,而是以相互密切的关系并立着,而且随着科学的每一成功进展,我们会不断发现这些真理之间的新的接触点.C.F.Gauss,数学既不严峻,也不遥远,它和几乎所有的人类活动有关,又对每个真心对它感兴趣的人有益.R.C.Buck,3,介绍一类最优问题的求解新框架-变分方法,连续,多元函数极值,积分等,内容提要,回顾微积分有关知识,复习微分方程求解的解析与数值方法,最速降线求解的仿真方法,4,1696年JohnBernoulli向他的兄长和其他,数学家挑战性地提出了最速降线(捷线)问题:,一质量为m的质点,在重力作用下从定点A,沿曲线下滑到定点B,,试确定一条曲线,使得质,点由A到B下滑时间最短.,假定B比A低,不计摩擦力,和其他阻力等因素.,此问题导致数学新分支的产生.,背景故事,5,思考,这是一个求最值的问题,与求函数的极值一样吗?,与求线性规划问题中的极值一样吗?,它的数学形式怎样?,历史,1697年5月号“教师学报”接收了5篇解答报告,6,贝努利约翰Bernoulli,Johann,欧洲著名科学家族,涉猎微积分、微分方程、解析几何、概率论以及变分法,谁发现LHospital法则,欧拉的指导者和老师,更贡献于物理、化学和天文学,瑞士的骄傲,7,问题的数学形式,设曲线为,满足y(0)=0,y(b)=H,我们要求的是怎样的函数y(x),下滑的时间,使得T(y)取得最小值,求minT(y),8,近似方法,如图建立坐标系,设A为原,点,B为(b,H),将带状区域,直线y=yk=kH/n把这区域,分成n个带状小区域.,在带状域yk-1yyk,可近似认为,而曲线段近似认为是直线段,其长度,00d=c;elsea=c;endc=(a+d)/2;i=i+1;endx(1)=sqrt(g*h/2)*c*h/sqrt(1.0-c*c*2*g*h);T=sqrt(x(1)-a)2+h2)/sqrt(2*g*h)fork=2:nv=sqrt(2*g*k*h);x(k)=x(k-1)+c*v*h/sqrt(1.0-c*c*v*v);T=T+sqrt(x(k)-x(k-1)2+h2)/v;endplot(x,-(0.1:h:H),*r),利用数学软件求近似最速降线和最短时间,13,利用数学软件求解得到的曲线,14,再作分析,质点要走最快的路线(曲线),应该如何变化?,依然用从质点速度变化的角度考虑,设质点从A1经直线l到达A2,质点速度在l的,上侧为v1,下侧为v2,则质点如何运动才最省时?,如图,若A1,A2到l的垂足分,为a,b,OD=c,质点经过l于C,设,别为O,D,A1,A2到l的距离分别,OC=x,那么质点由A1到A2需时间,15,唯一驻点满足,也即,这就是光学中的Snell折射定律,16,建立数学模型,分析:如图建立坐标系,,弧AB分割成小段,考虑在第k,层与k+1层质点在曲线上的下,滑,依能量守恒律,可近似,认为质点在每层内的速度不,变,于是依辅助结论知,注意上式对任何k成立,,用与x轴平行的直线将,17,令平行线的间距趋于零,我们就得到在曲线,上任何一点,其中为该点切线与铅垂线,的夹角,故导出,18,导出微分方程,又因,于是得到,19,一个引理,设集合E0=g(x)C1g(a)=g(b)=0,如果在a,b上连续函数f(x)满足,那么,f(x)0,对g(x)E0,总有,20,另一种方法变分法,设曲线为,满足y(0)=0,y(b)=H,在曲线上P(x,y)处质点速度为,又设从A到P的弧长为s,则,从而质点沿曲线由A到B需时间,21,那么我们的问题成为,求某个,使得,引进集合,显然若,是最速曲线函数,则,故得,设集合,22,那么对,依复合函数求导法,注意第二项,23,上式乘以,这里,于是导出,24,注意从降线定义可知,故,1)可求解析解,解法,2)也可以用数值方法,例如欧拉法求解,得到方程为,25,由于在原点y=0,可改写方程,求解析解提示:,解析解,26,functioncycloid1(b,H,n)ifnargin=2%两个参数则默认n为100n=100;endg=9.8;h=H/n;minc=0;maxc=1/sqrt(2*g*h*n);x=0;y=0;whileabs(b-x)1e-4x=0;c=(minc+maxc)/2;%二分法求c值forj=1:ny=j*h;v=sqrt(2*g*y);x=x+c*v*h/sqrt(1-c2*v2);gx(j)=x;gy(j)=y;end,最速降线问题仿真方法Matlab程序,27,ifxb%判断最后一个点与所给点的位置情况minc=c;elsemaxc=c;endendT=0;forj=1:nv=sqrt(2*g*j*h);ifj=1s=sqrt(gx(1)2+h2);elses=sqrt(gx(j)-gx(j-1)2+h2);endT=T+s/v;endplot(gx,-gy);Tend,28,取b=H=10,n=100,29,30,31,实验任务,1.分别用数值方法和解析方法求出的最速降线,的曲线和下降时间,将两种结果比较,2.在一条直线l的上侧有两个点A,B,试找出一条从,A到B的曲线,使得这曲线绕l旋转所得的旋转面,的面积最小.设直线l与点A,B在xy平面,l为x轴,,A为(0,(e+e-1)/2),B为(3,(e2+e-2)/2),(设b=/2,H=1),32,用曲线连接面上A(0,0,1),B(1,3,0)两点,求使得,AB弧长最短的曲线(短程线),4.在第3题中,将曲面改为,求在曲面上连接A(1,0,1),B(
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