空间平面与直线及其方程PPT课件

高等数学,第七章向量代数与空间解析几何,7.3空间平面和空间直线,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,7.3空间平面与空间直线及其方程,二、平面的方程,五、平面束方程,三、空间直线的方程,四、空间上点、直线、平面之间的位置关系,一、曲面、曲线与方程,一、曲面、曲线与方程,在空间解析几何中，,任何曲面或曲线都可看成具有某种性质,的点的集合.,在选定空间直角坐标系后，,某一曲面或曲线上的点,或,有下述关系：,（1）,(或方程组)；,(或方程组).,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,(1)中的方程(或方程组)就称为曲面(或曲线)的方程，,而曲面(或曲线)则称为(1)中的方程(或方程组)的图形.,空间解析几何主要有两个基本问题:,(1)已知一曲面或曲线作为点的几何轨迹时,求曲面或曲线的方程.,(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状.,(必要时需作图).,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,那么,二、平面的方程,（1）平面的法向量的定义,凡是与平面垂直的非零向量称为该平面的法向量.,（2）平面的点法式方程,平面的法向量有无数多个，,它们都垂直于平面内的任一向量.,1、平面的点法式方程,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,设一平面通过已知点,且垂直于非零向量,称式为平面的点法式方程.,求该平面的方程.,则有,故,任取点,若,此时点M的坐标,不满足方程.,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,例7.3.1,于是可取平面的法向量为：,利用点法式得平面的方程为：,解:,平面的法向量垂直于该平面内任一向量，,又,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,例7.3.1,于是可取平面的法向量为：,利用点法式得平面的方程为：,解:,平面的法向量垂直于该平面内任一向量，,又,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,求过三点,即,为平面上任一点，,的平面的方程.,解法二:,则,于是,从而得,设,一般情况:,过三点,的平面方程为,平面的三点式方程,2、平面的一般方程,设有三元一次方程,方程称为平面的一般方程.,则方程可化为,由此可知，,而,不妨设,任一三元一次方程的图形总是一个平面.,为该平面的,一个法向量.,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,特殊情形,表示过原点的平面;,同理，,表示平行于y轴的平面;,表示平行于x轴的平面;,表示平行于zox面的平面.,(书上P21),方程为,方程为,其法向量为,该平面平行z轴；,方程,方程,方程为,方程,表示平行于yoz面的平面；,同理，,方程,它表示平行于xoy面的平面;,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,设平面的方程为,将三点坐标代入得,解：,例7.3.2,分析：,可用平面的一般方程做,或平面的点法式方程做.,（其中,求该平面的方程.,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,将,代入所设方程得,此式称为平面的截距式方程.,(见书上P21),7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,求过不在同一直线上三点,的平面的方程.,例.,解:,则,于是有,即,此式为平面的三点式方程,例7.3.3,解：,可设所求平面的方程为,又平面过点,即,故,代入所设方程并消去,得所求的平面方程为,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,三、空间直线的方程,1.空间直线的点向式方程与参数方程,(1)直线的方向向量的定义,与直线平行的非零向量，,称为这条直线的一个方向向量,直线的方向向量有无数多个.,方向数，,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,(2)空间直线的点向式方程和参数方程,故有,说明:,则,此式称为直线的点向式方程(也称为对称式方程或标准方程),设直线上的动点为,某些分母为零时,其分子也理解为零.,求该直线的方程.,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,则,直线方程为,此式称为空间直线的参数方程.,例如,设,直线方程为,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,因此其一般方程为,2.空间直线的一般方程,空间直线可视为两个不平行平面交线，,(不唯一),此式称为空间直线的一般方程.,这条直线的一个方向向量为：,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,例7.3.4,从而所求直线的方程为：,故所求直线的一个方向向量可取为：,解:,求过两点,的方程.,与,此式称为直线的两点式方程.,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,的直线,直线的三种方程间的相互转化：,（1）直线的点向式方程和参数方程相互间易转换；,（2）要把点向式方程转化成一般方程也很方便，,便是直线的一般方程.,只要把点向式方程的连等式写成方程组形式：,例如：,（3）怎样把一般方程转化成点向式方程？,法1：,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,法2：,先找直线上两点A,B;,就是直线的方向向量.,由,得,即,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,例7.3.5,解:,用点向式方程及参数方程表示直线,解得,再求直线的方向向量,分析：,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,可取,先在直线上找一点,代入原方程组得,令,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,故所给直线的点向式方程为,得直线的参数方程为,令,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,四、空间上点、直线、平面之间的位置关系,1、空间两平面的位置关系,两平面法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.,它们的法向量分别为,和,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,即,空间两平面的位置关系只有三种：,相交,特别地，,相交、平行或重合.,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,例7.3.6,设所求平面的法向量为,求它的方程.,解法1:,且垂直于平面,已知平面的法向量为,由于两平面垂直，,所以,故可取,则所求平面的方程为,即,有,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,例7.3.6,代入(1)式,且垂直于平面,设所求平面的法向量为,即,则所求平面方程为,故,求它的方程.,一平面通过两点,解法2:,和,得,即,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,2.空间两直线的位置关系,则两直线的夹角满足,两直线的方向向量的夹角(通常取锐角)称为两直线的夹角.,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,与,上的点，,则,且,空间两直线的位置关系只有四种：,异面、相交、平行或重合.,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,特别地，,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,例7.3.7,求以下两直线的夹角,解:,则两直线夹角的余弦为,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,3.空间直线与平面的位置关系,当直线与平面垂直时,当直线与平面不垂直时,设直线L的方向向量为,平面的法向量为,直线和它在平面上的投影直线的,则,或,规定其夹角为,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,则直线与平面的夹角满足,特别地，,空间直线与平面的位置关系只有三种：,相交、平行或直线在平面上.,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,解：,的直线的方程.,例7.3.8,又两直线垂直，,所以,从而,直线L的参数方程为,它的一个方向向量,所求直线与直线L的交点可设为,则,就是所求直线的一个方向向量.,即有,解得,于是,故所求的直线的方程为：,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,4.平面(或直线)外一点到平面(或直线)的距离公式,(1)平面外一点到平面的距离公式,因平面法向量为,如图，,(书上P27),设垂足为,所以,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,此式为点到平面的距离公式,于是,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,（2）直线外一点到直线的距离公式,的距离为：,(书上P28-29),在直线L上任取一点,事实上，,过点M1作直线L的方向向量,四边形的面积为：,(M1为L上任一点),7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,例7.3.9,直线L的方向向量,解:,点,为直线L上一点，,则,所以点M0到直线L的距离为：,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,五、平面束方程,过定直线的所有平面的全体称为平面束.,设直线L的方程为：,过直线L的平面束方程为：,(为任意实数),它表示(除平面(2)外的)所有过直线L的平面.,易知(3)式中x,y,z的系数不全为零，,方程(3)就表示过直线L的不同平面.,从而它表示平面.,事实上，,直线L上的点都满足方程(3)，,于是当不同时，,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,过直线L的所有平面的平面束方程为：,注：,(,是不全为零的任意实数),7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,例7.3.10,解法1：,分析：,求直线,在平面,上的投影直线的方程.,过直线L作垂直于平面的平面1,则与1的交线即为,投影直线.,关键是求出平面1(即投影平面)的方程.,设过直线L的平面束方程为：,(其中为待定常数),7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,平面(1)垂直于平面,故有,即,代入(1)式，得与平面垂直的平面(即投影平面)的方程为：,即,故投影直线的方程为：,7.3空间平面与空间直线及其方程,高等数学第七章向量代数与空间解析几何,解法2：,直线L的一个方向向量为：,平面的法向量为,过直线L且垂直于平面的平面(即投影平面)1,的法向量可取为：,再求直线L上一个点,代入直线L的方程得,令,解得,7.