广东省深圳市南头中学2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）

广东省深圳市南头中学2020学年度第一学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列关系正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据空集是任何集合的子集即可判断出选项正确【详解】空集是任何集合的子集；正确本题正确选项：【点睛】考查集合元素的概念，元素与集合的关系，空集是任何集合的子集2.函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：，解得或，表示为区间为：，故选C.考点：函数的定义域3.设全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由图象可知阴影部分对应的集合为U(AB)，由x22x30得1x3，即A=(1,3)，B=x|x1，AB=(1,+)，则U(AB)=(,1，故选D.点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍4.已知函数，则的值为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 5【答案】D【解析】试题分析：，故选D.考点：分段函数求值.5.已知函数为定义在上的奇函数，则下列结论中不正确的是（ ）A. 在和上的单调性相反B. 图象过原点，且关于原点对称C. D. 如果时，有成立，那么时，也成立【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和性质依次分析选项，综合即可得答案【详解】根据题意，依次分析选项：对于，若为奇函数，则在和上的单调性相同，错误；对于，若为定义在上奇函数，则其图象过原点，且关于原点对称，正确；对于，若为奇函数，则即，正确；对于，若时，有成立，那么时，正确；本题正确选项：【点睛】本题考查函数的奇偶性的定义以及性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题6.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：A中函数不是减函数；B中函数在定义域内不是减函数；C中函数既是奇函数又是减函数；D中函数不是奇函数考点：函数奇偶性单调性7.命题“”的否定形式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：命题的否定是把结论否定，同时存在量词与全称量词要互换，命题“”的否定形式“”故选C考点：命题的否定8.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（）【答案】选C【解析】注意的图象是由的图象右移1而得本题考查函数图象的平移法则9.如果不等式|xa|1成立的充分不必要条件是，则实数a的取值范围是()A. B. C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】解不等式|x-a|1得其解集，进而结合充分、必要条件与集合间包含关系的对应关系可得不等式组，解这个不等式组可得答案【详解】根据题意，不等式|x-a|1的解集是a-1xa+1，设此命题为p，命题，为q；则p的充分不必要条件是q，即q表示的集合是p表示集合的真子集；则有，（等号不同时成立）；解得故选B.【点睛】本题考查充分、必要条件判断及运用，注意与集合间关系的对应即可，对于本题应注意得到的不等式的等号不同时成立，需要验证分析10.已知，且，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：若，则由得即，此时，即，若，则由得即，此时，即，综上，故选D.考点：不等关系与不等式.11.一个玩具厂一年中12月份的产量是1月份产量的倍，那么该玩具厂这一年中产量的月平均增长率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设月平均增长率为，建立方程关系，进行求解即可【详解】设月平均增长率为，一月份的产量为一年中月份的产量是月份产量的倍 即 本题正确选项：【点睛】本题主要考查指数幂的求解，根据条件建立方程关系是解决本题的关键12.已知正实数，满足，则能使得不等式恒成立的整数的最小值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】利用，可得利用基本不等式的性质可得：不等式恒成立化为：，即可得出结果【详解】正实数满足 ，化为：，当且仅当时取等号则不等式恒成立，化为： 能使得不等式恒成立的整数的最小值为本题正确选项：【点睛】本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数（，且，常数为自然对数的底数）的图象恒过定点，则_【答案】【解析】【分析】令幂指数等于零，求得的值，可得函数的象恒过定点的坐标，从而得出结论【详解】对于已知函数（且，常数为自然对数的底数）令求得，可得函数的图象恒过定点函数的图象经过定点，则本题正确结果：【点睛】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题14.已知函数为奇函数，且当时，则_【答案】12【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式求出的值，结合函数的奇偶性可得的值，即可得答案【详解】根据题意，当时，则又由函数为奇函数，则本题正确结果：【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题15.设，将，从小到大依次排列_【答案】【解析】【分析】，从而得出的大小关系【详解】，本题正确结果：【点睛】考查对数函数和指数函数的单调性，减函数的定义，属于基础题.16.若函数在上的最大值比最小值大，则的值为_.【答案】【解析】，函数在区间上单调递减，所以，由题意得，又，故。答案：三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.计算下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用指数运算性质即可得出；（2）利用指数与对数运算性质即可得出【详解】（1）原式（2）原式【点睛】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18.已知集合，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围【答案】（1） ；（2）【解析】试题分析：集合的运算注意交集并集的端点是否取等号，根据交幷关系得出包含关系后，写出条件即可求解.试题解析：（1）要使，则需满足下列不等式组， 解此不等式组得， 则实数的取值范围为 （2）要使，即是的子集，则需满足，解得，即的取值范围是19.已知函数的图象过点.（1）求实数的值，并证明函数为奇函数；（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）将坐标代入函数的解析式，可得的值，即可得函数的解析式，求出函数的定义域，结合函数奇偶性的定义分析可得结论；（2）设，由作差法分析可得结论【详解】（1）根据题意，函数的图象过点则有，解可得，则其定义域为，且则函数为奇函数（2）根据题意，由（1）的结论，则上为增函数证明：设则又由，则，则则函数在上为增函数【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的判断，关键是求出的值，属于基础题20.某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台每批都购入台，且每批均需付运费400元贮存购入所有的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元（1）求的值；（2）现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由【答案】（1）；（2）只需每批购入台，可以使资金够用【解析】【分析】根据若每批购入台，则全年需用去运费和保管费共元，求出比例；再求出运费和保管费的总费用关于每批购入台数的函数解析式，然后利用基本不等式进行解答.【详解】（1）设全年需用去的运费和保管费的总费用为元题中的比例系数设为，每批购入台，则共需分批，每批费用元由题意知：当时，解得：（2）由（1）可得：（元）当且仅当，即时等号成立故只需每批购入台，可以使资金够用【点睛】本题考查函数的实际应用，解决问题我们要经过析题建模解模还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一21.已知函数，集合.（1）求函数的定义域；（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）可看出，要使得函数有意义，则需满足，从而得出结论；（2）根据“”是“”的必要条件即可得出，从而分别讨论是空集和不是空集两种情况，得到不等式组，求得结果.【详解】（1）要使有意义，则：解得或的定义域或（2）“”是“”的必要条件 当时， 当时，或解得：实数的取值范围为【点睛】考查函数定义域的概念及求法，必要条件和子集的概念，空集的定义，易错点是求解时，忽略了为空集的情况.22.已知，函数（1）当时，解不等式；（2）若命题“，”为真命题，求实数的取值范围；（3）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）或或【解析】【分析】（1）运用对数的单调性和分式不等式的解法可得所求解集；（2）由，函数在递减，可得在恒成立，由恒成立思想可得所求范围；（3）由对数方程的解法和分类讨论思想方法，可得所求范围【详解】（1）当时，即为可得，即解得或即原不等式解集为