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江苏省常州市西夏墅中学高一数学2.4向量的数量积（2）学案教学目标：1掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；2掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题；3通过师生互动，学生自主探究、交流与合作，培养学生探求新知及合作能力教学重点：运算律的理解和平面向量数量积的应用教学难点：平面向量的数量积运算律的理解教学方法：引导发现、合作探究教学过程： 一、复习导引复习提问：1（1）两个非零向量夹角的概念；（2）平面向量数量积的定义；（3）“投影”的概念；（4）向量数量积的几何意义；（5）两个向量的数量积的性质2判断下列各题正确与否：若，则对任一向量，有； ( ) 若，则对任一非零向量，有； ( )若，则； ( 若，则至少有一个为零向量； ( )若，则当且仅当时成立； ( )对任意向量，有 ( ) 二、学生活动问题1已知实数，()，则.=是否成立？问题2实数的运算律有ab=ba；a(b+c)=ab+ac；(ab)c=a(bc)在向量的数量积中是否成立？（举例说明）三、建构数学1数量积的运算律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）（1）交换律：；证明：设夹角为，则，（2）数乘结合律：证明：若，此式显然成立若， ，若，qq1q2ABOA1B1C综上可知成立（3）分配律： 在平面内取一点，作=, =，=， （即）在方向上的投影等于在方向上的投影和，即： ， 即：说明：（1）一般地，()（）（2），（3）有如下常用性质：|,()（）（）,2向量的数量积不满足结合律分析：若有（）（），设、夹角为，、夹角为，则()|cos，()|cos，若，则|，进而有：（）()，这是一种特殊情形，一般情况下不成立举反例如下：已知|，|，|，与夹角是60，与夹角是45，()（|cos60），()（|cos45）而，故（）（）四、数学运用1例题例1已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和变式1用向量方法证明：菱形对角线互相垂直变式2如图，是的三条高，求证：相交于一点ABCDEFH变式3用向量证明三角形的三条角平分线相交于一点例3 四边形中，=，=，=，且，试问四边形是什么图形？例4 设与是夹角为60，且|，是否存在满足条件的，使|+|=2|-|？请说明理由2巩固 （1）已知|=1,|=，（1）-与垂直，则的夹角是_； （2）若，； （3）若、的夹角为，则|+|；（2）已知|=2,|=1，与之间的夹角为，那么向量-4的模为_；|-4|-|（3）设、是两个单位向量，其夹角为，求向量=2+与=2-3的夹角；（4）对于两个非零向量，当的模取最小值时，求的值；求证：与垂直五、回顾反思
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