§1生活中的变量关系

第二章函数,现实世界充满变化，函数是描述变化规律的重要数学模型。用函数的思想研究问题，是一种重要的观念。本章在复习初中函数知识的基础上，用集合、对应的观点研究函数，加深对函数概念的理解，函数的概念及思想方法将贯穿高中数学课程的始终，渗透到数学的各个领域。,生活中的变量关系,世界是变化的.变量及变量之间的依赖关系在生活中随处可见.我们在初中学习过的函数就描述了因变量随自变量而变化的依赖关系.,初中学习过的函数描述了两个变量:因变量y与自变量x之间什么样的依赖关系？,设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说y是x的函数.x叫做自变量.,函数关系,在高速公路的情境下,你能发现哪些函数关系?,我国的道路交通网，近十几年的发展非常迅速.1.我国自1988年开始建设高速公路以来，全国高速公路总里程，于1998年底，位居世界第八；1999年底，位居世界第四；2000年底，位居世界第三；2001年底，超过了加拿大，跃居世界第二位；2011年底，8.5万公里，仍是世界第二位。,1988-2001年全国高速公路总里程（单位：km）,1988-2001年全国高速公路总里程,19881990199219941996199820002001,高速公路里程数随年份的变化而变化.所以，高速公路里程数可以看成因变量，年份看成自变量，从而高速公路里程数是年份的函数.,2.一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，每个时刻都有唯一的行驶路程与它对应.行驶路程（因变量）随时间（自变量）的变化而变化，行驶路程是时间的函数.同样，汽车的速度、耗油量也是时间的函数.,3.高速公路旁的加油站.加油站常用圆柱体储油罐存汽油.储油罐的长度d，截面半径r是常量；油面高度h，油面宽度w，储油量v是变量.,并非所有依赖关系的两个变量都有函数关系.只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，才称它们之间有函数关系.,储油量v与油面高度h存在着依赖关系，储油量v与油面宽度w也存在着依赖关系，但并非函数关系。,对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量v与之对应，所以，储油量v是油面高度h的函数.而对于油面宽度w的一个值可以有两种油面高度和它对应，于是可以有两种储油量v和它对应，所以，储油量v不是油面宽度w的函数.,注意,并非有依赖关系的两个变量都有函数关系.,问题,如何判断两个有依赖关系的变量之间是否是函数关系？,首先，确定因变量和自变量；其次，判断对于自变量的每一个确定的值，因变量是否有唯一确定值与之对应，若满足则是函数关系，否则不是,1.进一步分析上述储油罐问题,讨论:还有哪些常量?哪些变量？哪些变量之间存在依赖关系？哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？,(1)常量有圆柱底面面积、油罐容积、油的密度等；变量有油的体积、圆柱底面的弓形面积等。（2）储油量和油的体积、储油量和圆柱底面上的弓形面积、油的体积和油面宽度之间都存在依赖关系。（3）储油量是油体积的函数，油体积是储油量的函数，储油量是圆柱底面上的弓形面积的函数，油的体积不是油面宽度的函数。,2.请列举一些与公路交通有关的函数关系.3.请思考在其他情境下存在的函数关系,例如：邮局,机场等.,例1口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过试验，测定了不同温度下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力，得到了如下表所示的一组数据：,次序,问题：（1）请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力F随温度t变化的图像；（2）根据上述数据以及得到的图像，你能得到怎样的实验结论呢？（3）如果口香糖不小心粘在衣服上，用什么办法清理最干净？,探究：在图像上描出题中表格中数据对应的点，之后用直线将两相邻点连结得到近似图像，然后根据图像合理推出结论（1）口香糖黏附力F随温度变化的图像如图所示：,（2）实验结论：（a）随着温度的升高，口香糖的黏附力先增大后减小；（b）当温度在时，口香糖的黏附力最大,(3)将衣服在冰箱中冷冻，然后取出用东西刮一下就干净了,例2向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是（）,1,2,3,4,1B2D3A4C,1、某电器商店以2000元一台的价格进了一批电视机，然后以2100元的价格售出，随着售出台数的变化，商店获得的收入是怎样变化的？其收入和售出的台数间存在函数关系吗？,设售出台数为x台，收入为y元，则y=(2100-2000)x收入和台数间存在函数关系,2、坐电梯时，电梯距地面的高度与时间之间存在怎样的依赖关系？,对于任一时间，电梯都有唯一高度.它们之间存在函数关系,练习,3、在一定量的水中加入蔗糖，糖水的质量浓度与所加蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系？如果是函数关系，指出自变量和因变量.,存在函数关系，其中蔗糖质量是自变量，糖水质量浓度是因变量；,也可以糖水质量深度是自变量，蔗糖的质量是因变量,4、日期与星期之间存在怎样的依赖关系？这种依赖关系是函数关系吗？如果是，指出自变量和因变量.,每一个日期都有一个星期几和它对应，所以它们存在函数关系；日期是自变量，星期是因变量,星期可否作为自变量？,星期不能作自变量，对于每一个星期，有很多个日期，不具有单值性,5、下列过程中，变量之间是否存在依赖关系，其中哪些是函数关系：（1）地球绕太阳公转的过程中，二者的距离与时间的关系（2）在空中作斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与时间的关系；（3）某水文观测点记录的水位与时间的关系；（4）某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系.,练习,6、在物理化学等学科中找出有函数关系的变量的例子,并指出其中的自变量和因变量.7、请找出至少3个生活中存在的函数关