高级生物统计043.ppt

第三节均匀设计,一、均匀设计的概念与特点均匀设计(uniformdesign)是一种将试验点均匀地散布在试验范围内的科学的试验设计方法，适用于多因素、多水平的试验设计。均匀设计不仅可以大大减少试验点，而且仍能得到反映试验对象主要特征的试验结果，用较少的试验获得较多的信息。,例如，对于3个因素各有5个水平的试验，利用正交表L25(56)设计，试验方案包含25个水平组合，每个因素的每个水平都重复了5次。如果采用均匀设计，每个因素设置5个水平，每个水平只做1次试验，则同样的试验规模可将试验点分布得更加均匀。因此，均匀设计试验点的代表性更强。,均匀设计的最大优点是可以节省大量的试验工作量。例如，对于4个因素各有6个水平的试验，进行全面试验，共有64=1296个水平组合；即使进行正交试验，也有72个水平组合。而采用均匀设计，只须6个水平组合，试验工作量大大减少。,均匀设计有以下几个特点：,第一，每个因素的每个水平只做1次试验。第二，任意两个因素的试验点画在平面的格子(lattice)点上，每行每列有且只有1个试验点。例如均匀设计表U6*(66)的第1列和第3列组成的试验方案的试验点如图44(a)所示。,这两个特点反映了均匀设计安排试验的“均衡性”，即对每个因素的每个水平一视同仁。,第三，均匀设计所采用的均匀设计表的任意两列组成的试验方案一般并不等价。,例如表U6*(66)的第1、3列和第1、4列组成的试验方案的试验点分别如图44(a)和图44(b)所示。,可见，(a)的点散布比较均匀，而(b)的均匀性就比(a)要差些。均匀设计表的这一性质和正交表有很大的不同，因此，使用均匀设计一般不宜随意挑选列。每个均匀设计表都有一个附加的使用表，它指示我们如何从均匀设计表中选择适当的列来安排试验因素。进行均匀设计时，只有遵循使用表的规定，才能达到较好的试验效果。例如，表441是均匀设计表U5(54)的使用表，它指示我们，若有两个因素，应选用1、2两列来安排试验；若有三个因素，则应选用1、2、4三列来安排试验。,第四，当试验因素的水平数增加时，水平组合数按水平数的增加而增加，水平组合数可以连续改变。这是其他试验设计所不具备的。如当水平数从9水平增加到10水平时，水平组合数也从9增加到10。由于有这个特点，使均匀设计更便于使用。,第五，均匀设计表中各列的因素水平不能像正交表那样可以任意改变次序，而只能按照原来的顺序进行平滑。即将原来的最后一个水平与第一个水平连接起来，组成一个封闭圈；然后从任意一处开始确定为第一水平，并按一定的方向，依次排出第二水平、第三水平、。,二、均匀设计表,均匀设计也是通过一套精心设计的表格来进行试验设计的，这种表格称均匀设计表，表442就是均匀设计表U7(76)。均匀设计表用Un(qs)或Un*(qs)表示，其中U表示均匀设计表；n表示该表的行数，即试验方案包含的水平组合数；s表示该表的列数；q表示每列中不同数字的个数，即每个因素的水平数。,U的右上角加“*”和不加“*”代表两种不同类型的均匀设计表。通常加“*”的均匀设计表有更好的均匀性，应优先选用。由于均匀设计表各列间的相关性，s列的均匀设计表最多只能安排int(s/2)+1个试验因素，这里int(x)表示不超过x的最大整数。因此，表442最多可以安排4个各7个水平因素的试验，试验方案包含7个水平组合。,为了节省篇幅，本书附表7仅列出试验次数n为奇数，n23且因素数s7的均匀设计表及其相应的使用表，供使用时选择。对于试验次数n为偶数的均匀设计表，可以从试验次数为的表中划去最后一行而得到，而其使用表不变。,在科学研究和生产实践中，实际情况通常是千变万化的，在应用均匀设计时需要机动灵活。例如某3因素试验，因素A和B有3个水平，因素C有2个水平，直接运用前面介绍的均匀设计表来安排这个试验是有困难的。这时，可以采用拟水平(dummylevel)技术。若选用均匀设计表U6*(66)，按使用表的推荐用1、2、3三列。将因素A和B放在前两列，因素C放在第3列，并将前两列的水平合并：1，21，3，42，5，63。同时，将第3列水平合并为2水平：1，2，31，4，5，62，于是得到设计表443。,这是一个混合水平的均匀设计表U6(3221)，这个表具有很好的均匀性。A列和C列、B列和C列的两因素设计正好组成它们的全面试验，A列和B列的两因素设计中没有重复试验。,但是，并不是每一次进行拟水平设计都有这么好的效果。例如，若要安排一个因素A和B有5水平、因素C有2水平的试验，采用均匀设计表U10*(1010)。由使用表指示选用1、5、7列。对1列和5列采用拟水平技术，合并1，21，9，105；对7列采用拟水平技术，合并1，2，3，4，51，6，7，8，9，102，从而得到表444的试验方案。在该方案中，A和C的两列，有两个（2，2），但没有（2，1），有两个（4，1），但没有（4，2），因此这个方案的均匀性不太好。,如果选用U10*(1010)的1、2、5三列，用同样的拟水平技术，可获得表445列举的U10(522)表，它有较好的均匀性。在实际应用中采用拟水平时，可直接从均匀设计与均匀设计表（方开泰，北京：科学出版社，1994）的附录II中选用通过拟水平技术而生成的混合水平的均匀设计表来进行设计。,三、均匀设计方法,利用均匀设计表来安排试验，其基本步骤与正交设计类似，主要有以下几步：首先，根据试验研究的目的，确定试验因素及其相应的水平。其次，根据试验因素及其水平，选择适合该试验的均匀设计表。第三，根据均匀设计表的使用表的指示，将各试验因素分别安排到适当的列上，并将各列中的数字换成相应因素的水平，获得试验方案。,【例47】,有一玉米栽培试验，播种期(Z1)设3月5日、3月10日、3月15日、3月20日、3月25日和3月30日共6个水平，分别表示为5、10、15、20、25、30（以2月28日为零）；施肥量(Z2)为每666.67m2施农家肥2、3、4、5、6、7100kg；种植密度(Z3)为每666.67m2种植2.5、3.0、3.5、4.0、4.5、5.01000株。利用均匀设计表安排试验方案。,本例为3个因素各有6个水平的试验，试验次数为偶数。从本书附表7中选取均匀设计表U7(76)（表442），将表的最后一行去掉，得到均匀设计表U6*(66)（表446），而使用表不变。,由使用表可知，当试验因素为3时，应选择1、2、3列安排试验。将Z1，Z2，Z3分别放在1、2、3列上，同时将各列中的数字换成相应因素的水平，于是就得到了本例的试验方案，如表447所示（3个空列未列出）。,在均匀设计表中，所有水平数为奇数的表，最后一次试验都是各因素的最高（或最低）水平相遇，如表442中的第7号试验就是所有因素的第7水平相遇。根据专业知识和实践经验，这样的水平组合（即处理）其试验结果可以预料是很差的甚至是有危险的。此时可将因素的水平顺序进行平滑，即将原来的最后一个水平与第一个水平连接起来，组成一个封闭圈；然后从任意一处开始确定为第一水平，并按一定的方向，依次排出第二水平、第三水平、。这样即可有效避开各因素高（或低）水平相遇可能产生的不良后果。,四、均匀设计的统计分析,由于均匀设计的每个因素水平较多，而试验次数又较少，因此均匀设计试验结果的统计分析不能采用一般的方差分析法。通常，试验研究主要有两个目的，一是揭示试验指标与试验因素之间的关系，二是寻求最佳的技术措施或最优的工艺条件。回归分析建立的回归方程可以同时达到这两个目的。因为均匀设计不具备“整齐可比”性，所以其试验结果的分析比较复杂，可以采用的方法很多，如线性回归模型、非线性回归模型、二次回归模型和逐步回归分析等。而回归分析，特别是逐步回归分析是对均匀设计试验结果进行统计分析的主要手段。,【例48】,试对【例47】的试验结果（表447）进行统计分析。,首先，按照单因素随机区组试验结果进行方差分析，检验处理间的差异显著性。,F检验结果表明各处理间的差异显著，而区组间差异不显著。由于两个区组间的差异不显著，下面的回归分析采用两次重复的平均值。,其次，采用三元一次线性回归模型进行回归分析。,对回归方程（4-40）表示的回归关系和各回归系数进行显著性检验见表449，检验结果表明，回归关系和3个回归系数都不显著，说明该回归方程并不可信。,再次，对回归方程（4-40）中的Z进行剔除，先剔除偏回归平方和最小的Z2，新的回归方程为：,回归方程（4-41）的回归关系以及Z1和Z3的回归系数仍不显著，F值分别为0.37、0.10和0.71，且Z1的偏回归平方和最小。于是又剔除Z1，只保留Z3，得到回归方程：,回归方程（4-42）的回归关系还是不显著（F=0.81）。因此，回归方程（4-41）和回归方程（4-42）也不可信。由以上分析可知，采用三元一次线性回归模型估计的三个回归方程（4-40）、（4-41）、（4-42）都不能准确描述玉米产量与播种期、施肥量和种植密度之间的关系，应该考虑更高次的回归模型。,第四，采用三元二次回归模型进行回归分析,一般地，若有p个试验因素，二次回归方程共有C2p+2个回归系数需要估计，而均匀设计试验处理数较少，所得到的观测值数目常小于回归系数的数目，因而采用一般的回归分析（最小二乘法）无法估计所有的回归系数。,但实践证明，通常p元二次回归模型中的回归系数并不同时都显著，因而在均匀设计试验结果的统计分析中可以采用逐步回归分析来建立回归方程。实际上，前面的三元一次线性回归模型的分析也可以采用逐步回归分析进行，分析结果完全相同。,本例有3个试验因素，三元二次回归方程需要估计10个回归系数，而均匀设计试验又只有6个处理，即只有6个观测值，所以需要采用逐步回归分析来建立回归方程。通过分析，得到回归方程,对回归方程（4-43）表示的回归关系和各回归系数进行显著性检验见表450，检验结果表明，回归关系和四个回归系数都达到显著或极显著水平，说明回归方程（4-43）能用于描述玉米产量与播种期、施肥量和种植密度之间的关系。,第五，利用回归方程寻找最佳栽培措施,在回归方程（4-43）中，Z1和Z2都只有一次项，与成线性关系；只有Z3有二次项，在固定Z1和Z2时，与Z3的关系为开口向下的抛物线，具有极大值。,由回归方程（4-43）中Z1和Z2的回归系数分别是负值和正值可知，Z1应取最小值，Z2应取最大值，即在本试验范围内Z1=5，Z2=7。此时，回归方程（4-43）简化为方程：,求回归方程（4-44）的极值，得Z3=3.5758时为极大值。该极大值在本试验范围内就是最大值。因此，由回归方程（4-44）获得的最佳栽培措施为Z1=5，Z2=7，Z3=3.5758，即3月5日播种，每666.67m2施农家肥700kg，密度为每666.67m2种植350036