江苏省连云港市灌云县2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）

江苏省连云港市灌云县2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.某校高一年级有1200名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有800名学生，现要从该校全体学生中抽取100人进行视力检查，应从高一年级抽取（ ）人A. 30B. 40C. 50D. 60【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论【详解】现要从该校全体学生中抽取100人进行视力检查，应从高一年级抽取，故选B【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础2.在中，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理可得，因此三角形ABC为直角三角形【详解】，故选C【点睛】本题考查了正弦定理和勾股定理，属基础题3.如果直线和直线是异面直线，直线，那么直线与（ ）A. 异面B. 相交C. 平行D. 异面或相交【答案】D【解析】【分析】根据空间直线的位置关系可判断。【详解】因为直线a与直线b是异面直线，直线ca则c与b有公共点，则相交或c与b不相交，则b与c异面所以选D【点睛】本题考查了空间直线的位置关系，属于基础题。4.在中，已知，且，则角的度数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可得，化简可得【详解】，又，故选C【点睛】本题考查正弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，得到，是解题的关键，属基础题5.甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为（ ）A. 0.5B. 0.3C. 0.2D. 0.1【答案】A【解析】【分析】设甲胜的概率为，乙胜的概率为，和棋的概率为，根据甲胜、乙胜和列方程组可解得【详解】设甲胜的概率为，乙胜的概率为，和棋的概率为，则，两式相加得，又，所以故选A【点睛】本题考查了互斥事件的概率计算公式，属基础题6.下列叙述中正确命题的个数是：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两个平面相互平行；若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线与另一个平面平行（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】利用线面平行的判定定理即可判断出正误；由面面垂直的判定定理即可判断出正误；由线面垂直的性质定理、面面平行的判定定理即可判断出正误正确；由两个平面垂直的性质定理、线面平行的判定定理即可判断出正误【详解】若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，因此不正确；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，由面面垂直的判定定理可知：正确；垂直于同一直线的两个平面相互平行，正确；若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线与另一个平面平行，不一定正确，此直线可能在一个平面内叙述中正确命题的个数是2故选B【点睛】本题考查了空间位置关系判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7.一个不透明袋子中装有形状、大小都相同的红色小球4个，白色小球2个，现从中摸出2个，则摸出的两个都是红球的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据古典概型概率公式可得【详解】摸出的两个都是红球的概率为：故选A【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，属基础题8.若的两边长分别为2，3，其夹角的余弦为，则其外接圆的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求得三角形边长分别为2、3的夹角的正弦值为，由余弦定理可求第三边的长，根据正弦定理即可求得外接圆的直径，进而可求其半径，利用圆的面积公式即可计算得解【详解】ABC的两边长分别为2、3，其夹角的余弦为，故其夹角的正弦值为，由余弦定理可得第三边长为：，则利用正弦定理可得：ABC的外接圆的直径为，可得：ABC的外接圆的半径为，可得ABC的外接圆的面积为故选C【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，正弦定理与余弦定理，三角形的面积公式，属于基础题9.若的内角满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理可得，然后再用余弦定理求出即可【详解】，令，则，由余弦定理得， 故选B【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，属基础题10.在中,内角所对的边为,其面积,则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合三角形面积公式求解c的值即可.【详解】由三角形面积公式可得：，据此可得：.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.已知正三棱柱的所有棱长都是6，则该棱柱外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 84【答案】C【解析】【分析】利用外接球球心为上下底面中心连线的中点，求出外接球的半径，进而得到该棱柱外接球表面积【详解】如图，M，N为上下底面正三角形的中心，O为MN的中点，即外接球球心正三棱柱的所有棱长都是6，球半径，该棱柱外接球的表面积为故选C【点睛】本题考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，考查正三棱柱的结构特征、外接球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题12.在中，若为等边三角形（两点在两侧），则当四边形的面积最大时，（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出三角形BCD的面积，求出四边形ABCD的面积，运用三角函数的恒等变换和正弦函数的值域，求出满足条件的角的值即可【详解】设，BCD是正三角形，由余弦定理得：， ， 时，四边形ABCD的面积最大，此时故选D【点睛】本题考查余弦定理和三角形的面积公式，考查两角的和差公式和正弦函数的值域，考查化简运算能力，是一道中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数据的平均数为，则数据的平均数为_【答案】19【解析】【分析】根据平均数的定义和公式进行计算即可【详解】数据的平均数为，即数据，则数据的平均数，故答案为：19【点睛】本题主要考查平均数的计算，结合平均数的公式是解决本题的关键14.在中，则是_三角形【答案】直角【解析】【分析】已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，表示出，再利用余弦定理表示出，两者相等变形后，利用勾股定理即可对于三角形形状做出判断【详解】在ABC中，即，由余弦定理得：，即，整理得：，即，则ABC为直角三角形，故答案为：直角【点睛】此题考查了余弦定理，以及勾股定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键15.在正方体中，与面所成的角是_【答案】【解析】【分析】通过证明平面得线面角为90【详解】正方体中平面，平面，又正方形中，平面，又平面，同理，而与是平面内两相交直线，平面，与面所成的角是故答案：【点睛】本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题16.如图，四棱锥的底面是矩形，为上一点，且设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则_【答案】【解析】【分析】设P到平面ACD的距离为h，则E到平面ACD的距离为，则由此能求出【详解】四棱锥的底面是矩形，E为上一点，且设P到平面ACD的距离为h，则E到平面ACD的距离为，设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则，故答案为：【点睛】本题考查几何体的体积的求法及应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.甲，乙两名射击运动员在相同条件下进行水平测试，各射击10次，命中的环数如下：甲86786591047乙6778678795（l）分别计算两组数据的平均数及方差；（2）现要从甲、乙两人中选拔一人去参加比赛，根据上面的测试结果，你认为应该派谁去合适？并且说明理由【答案】（l）甲平均数7，乙平均数7，甲方差3，乙方差；（2）乙.【解析】【分析】（1）根据平均数和方差的公式分别进行计算即可；（2）结合平均数和方差的大小进行比较判断即可【详解】（1）甲的平均数为，乙的平均数为 ，甲的方差为，乙的方差为；（2）由于，则两人平均数相同，则甲数据不如乙数据稳定，故应选派乙参加比赛【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，结合平均数和方差的公式进行计算是解决本题的关键18.在中，（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将利用正弦定理化简得到，根据a的值求c的值，即为AB的长；（2）由余弦定理表示出，将a，b，c的值代入求出的值，进而求出的值，原式利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值【详解】（1）在ABC中，利用正弦定理化简得：，则；（2），则【点睛】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键19.如图，在三棱锥中，平面已知，点分别为的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知可证，利用线面平行的判定定理即可证明平面SAC；（2）由线面垂直的性质可证，由等腰三角形的性质可证，利用线面垂直的判定定理即可证明平面SBC【详解】（1）E，F分别为AB，BC的中点，又平面SAC，平面SAC，平面SAC；（2）平面SAC，平面SAC，点H分别为SC的中点，又，平面SBC【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质和判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题20.在中，角的对边分别为（l）求角的大小；（2）已知，且的外接圆的半径为，若，求的值【答案】（l）；（2）9.【解析】分析】（1）由题意可得，结合余弦定理可求，结合B的范围可求B的值（2）由已知利用正弦定理可得，可求，由余弦定理可解得，联立可得a，c的值，利用余弦定理可求的值，根据平面向量数量积的运算即可计算得解【详解】（1）由余弦定理可得，（2），ABC外接圆的半径为，由正弦定理可得：，可得：，由余弦定理可得：，解得：，联立可得：，或，由，可得：，【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，平面向量数量积的运算，考查了计算能力和转化思想，属于中档题21.如图，在正方体中，为棱任一点（1）求证：；（2）若正方体的棱长为，求三校维的体积和表面积【答案】（1）证明见解析；（2），.【解析】【分析】（1）推导出，从而平面，由此能证明（2）三棱维D1-ADC的体积，三棱维的表面积，由此能求出结果【详解】（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，F为棱的任一点，平面，平面，（2）正方体的棱长为a，三棱锥D1-ADC的体积：三棱锥D1-ADC的表面积：【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积、表面积的求法，考查正方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22.如图，有一位于处的雷达观察站发现其北偏东，与相距海里的处有一货船正匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于点北偏东（其中），且与相距海里的处（1）求该船的行驶速度；（2）在处的正南方向20海里处有一暗礁（不考虑暗礁的面积）如果货船继续行驶，它是否有触礁的危险？说明理由【答案】（1）海里/小时；（2