2020届福建省南平一中高三数学（理）第六次月考试卷

福建省南平一中福建省南平一中 20202020 届高三数学（理）第六次月考试卷届高三数学（理）第六次月考试卷 一、选择题：一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 1.若集合,那么( ) 1 | 2 x yyM |1Py yxPM A. B. C. D.), 0( ), 0 ), 1 ( ), 1 2.复数（ ） A. B. C. D. i i 1 1 3 i1ii1i 3.在等比数列中，已知，那么（ ） n a 1311 8a a a 28 a a A4 B6 C12 D16 4在ABC中，则k的值是（ ）) 3 , 2(),1 ,(,90ACkABC A5B5 CD 2 3 2 3 5某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒与 19 秒之间，将测试结果按如下方式分成 六组：第一组，成绩大于等于 13 秒且小于 14 秒；第二组，成绩大于等于 14 秒且小于 15 秒；第 六组，成绩大于等于 18 秒且小于等于 19 秒右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. 设成绩 小于 17 秒的学生人数占全班人数的百分比为，成绩大于等于 15 秒且x 小于 17 秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可分析出和分别yxy 为（ ） AB0.9 35，0.9 45， CD0.1 35，0.1 45， 6如图，程序框图所进行的求和运算是（ ） A + + + + B1 + + + + 1 2 1 4 1 6 1 20 1 3 1 5 1 19 C 1 + + + + D + + + + 1 2 1 4 1 18 1 2 1 2 2 1 2 3 1 2 10 7已知(,)，sin=,则等于（ ） 2 5 3 ) 4 2tan( A B C D 7 1 31 17 7 24 31 17 8设抛物线的焦点为 F，经过点 P(2,1)的直线 与抛物线相交于 A、B 两点且点 P 恰yx12 2 l 为 AB 的中点，则|AF|+|BF|=（ ） A10 B8 C6 开始 s = 0,n = 2 n 21 是 否 s = s + 1 n n = n + 2 输出 s 结束 D4 9.设为互不重合的平面，为互不重合的直线，给出下列四个命题：,nm, 若,则；若，则；nm,nm /,/,nmnm/ 若，则； 若则.mnnm,n,/,nmm/n 其中所有正确命题的序号是（ ） A B C D 10若直线与圆交于两点,且关于直线1 kxy04 22 mykxyxNM,NM, 对称,动点 P在不等式组表示的平面区域内0 yxba, 20 0 0 kxy kxmy y 部及边界上运动，则的取值范围是（ ） 2 1 b w a AB C D), 2 2,(2 , 2 ), 22,( 二、填空题：二、填空题：（本大题共有 5 个小题，每小题 4 分，共计 20 分） 11. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于_. 12展开式中，常数项是_. 6 2 ()x x 13. . dxx 0 2 2 4 14. 抛掷 3 个骰子，当至少有一个 5 点或一个 6 点出现时，就说这次试验成功，则在 54 次试验 中成功次数的期望为 .n 15.在圆中有结论:如图,“AB 是圆 O 的直径,直线 AC,BD 是 圆 O 过 A,B 的切线,P 是圆 O 上任意一点,CD 是过 P 的切线, 则有”. 类比到椭圆：“AB 是椭圆的长PDPCPO 2 轴, O 是椭圆的中心，是椭圆的的焦点，直线 AC,BD 21,F F 是椭圆过 A,B 的切线,P 是椭圆上任意一点,CD 是过 P 的切 线,则有 .” 三、解答题（本大题共有 6 个小题，共计 80 分） 16( 本题满分 13 分) 如图，一船在海上由西向东航行，在处测得某岛的方位角为北偏东角，前进AM 后在处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛4kmB 周围范围内有暗礁，现该船继续东行5 . 3km D C C D B A F2F1O B O A P P 2 2 2 2 2 主视图 左视图 2 俯视图 北 M AB C （）若，问该船有无触礁危险？ 0 602 如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自处向东航行多少距离会有触礁危险？B （）当与满足什么条件时，该船没有触礁危险？ 17( 本题满分 13 分) 如图，五面体中，底面是正三角形，.四边形 11 ABCC B4 1 ABABC2AB 是矩形，二面角为直二面角. 11 BCC B 1 ABCC （）在上运动，当在何处时，有平面,并且说明理由； DACD/ 1 AB 1 BDC （）当平面时，求二面角的余弦值./ 1 AB 1 BDCDBCC 1 18( 本题满分 13 分) 已知函数，过该函数图象上任意一点 x exf)(bkxxgxfx)()(,( 00 的切线为 （）证明：图象上的点总在图象的上方； )(xfy )(xgy （）若上恒成立，求实数的取值范围Rxaxe x 在a 19( 本题满分 13 分) 已知双曲线的两个焦点为 F1，F2，P 为动点，若=4. 22 221xy 21 PFPF （）求动点 P 的轨迹 E 的方程； （）求的最小值； 12 cosF PF （）设点 M（-2，0） ，过点 N（，0）作直线 交轨迹 E 于 A、B 两点，判断的大小 2 7 lAMB 是否为定值？并证明你的结论. 20 （本题满分 14 分） C1B1 D CB A 在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，平面内两点ABCBA,)0 , 1(A)0 , 1 (B 同时满足下列条件：MG, ；0GCGBGAMCMBMAGMAB （）求的顶点的轨迹方程；ABCC （）过点的直线 与（）中轨迹交于不同的两点，求面积的最大)0 , 3(PlFE,OEF 值 21 （本题满分 14 分，共 3 小题，任选其中 2 题作答，每小题 7 分） (1) 选修 42：矩阵与变换 设矩阵，求矩阵的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量MNA A 其中 = ，= M 1 1 4 2 N 1 1 1 2 (2) 选修 45：不等式选讲 已知函数 24xxxf （）作出函数的图像； xfy （）解不等式124xx (3) 选修 44：坐标系与参数方程 求极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值26sin3cos 福建省福建省南平一中南平一中 20202020 届高三数学（理）第六次月考试卷届高三数学（理）第六次月考试卷 参考答案参考答案 题号12345678910 答案 ADAAAA BBAD 二、填空题二、填空题 11. 8 + ； 12. 60； 13.； 14. 38； 15. . 4 3 PDPCPFPF 21 三、解答题三、解答题 16. 解：解：（）作，垂足为，由已知，ABMC C 0 60 0 30 所以， 0 120ABM 0 30AMB 所以， 4 ABBM 0 60MBC 所以，所以该船有触礁的危险5 . 33260sin 0 BMMC 设该船自向东航行至点有触礁危险，则，BD5 . 3MD 在中，MBC4BM2BC32MC5 . 0)32(5 . 3 22 CD 所以，（） 所以，该船自向东航行会有触礁危险 6 分5 . 1BDkmB5 . 1km （）设，在中，由正弦定理得，xCM MAB MAB BM AMB AB sinsin 即， cos)sin( 4BM )sin( cos4 BM 而，所以，当， )sin( coscos4 cossin BMMBCBMx5 . 3x 即，即时，该船没有触礁危险 13 分 2 7 )sin( coscos4 8 7 )sin( coscos 17. 解：（）当为中点时,有平面 2 分DAC/ 1 AB 1 BDC 证明:连结交于,连结 1 BC 1 BCODO 四边形是矩形 为中点 11 BCC BO 1 BC 北 M AB C D C1B1 D CB A O y x z 又为中点,从而 4 分DAC 1 /DOAB 平面,平面 1 AB 1 BDCDO 1 BDC 平面 6 分/ 1 AB 1 BDC （）建立空间直角坐标系如图所示,Bxyz 则, (0,0,0)B( 3,1,0)A(0,2,0)C 3 3 (,0) 22 D 1(0,2,2 3) C 7 分 所以,. 8 分 3 3 (,0) 22 BD 1 (0,2,2 3)BC 设),( 1 zyxn 为平面的法向量,则有,即令,可得平面 1 BDC 33 0 22 22 30 xy yz 3 3 xz yz 1z 的一个法向量为,而平面的一个法向量为11 1 BDC 1 (3,3,1)n 1 BCC 2 (1,0,0)n 分 所以 12 12 12 33 13 cos, 13|13 n n n n nn 所以二面角的余弦值为13 分DBCC 1 13 133 18. 18. 解：解：（）， 0000 00 )(,)( xxxx eexxexgexf 设 000 0 ( )( )( ) xxxx h xf xg xee xx ee 为增， 0 0 ( ),( )0, ( ) xx h xeexxh xh x当时， 当 000 ( )0, ( )( )()0 xxh xh xxxh xh x时，为减，当时，取最小值 ，)()(, 0)()()(, 0)()( 0 xgxfxgxfxhxhxh 所以图象上的点总在图象的上方 6 分)(xfy )(xgy （）当 2 ) 1( )(,)(0 x xe xF x e xFx xx 时，令 x（，0）（0，1）1（1，+） ( )F x 0+ F（x）减减e增 当 x0 时，F（x）在 x=1 时有最小值 e， eaaaxea x e x x 的范围是恒成立的即, 当 x0 时，F（x）为减函数， ，0( );( )0,( )(,0),0 x e xF xxF xF x x ， 0,aaaxea x e x x 的范围是恒成立的即 当 x=0 时，R a 由，恒成立的的范围是 13 分axe x a, 0e 19 （）解：依题意双曲线方程可化为则=41 2 1 2 1 22 yx 2 21 FF 21 PFPF 2 21 FF 点 P 的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程可设为由 21 , FF 22 22 1 (0) xy ab ab 得则所求椭圆方程为，22 , 42ca1, 2ca314 2 b1 34 22 yx 故动点 P 的轨迹 E 的方程为；3 分1 34 22 yx （）设,则由，可知0,0 21 nPFmPF 21PF F4 nm2 21 FF 在中 21PF F1 6 2 212 2 42)( 2 4 cos 222 mnmn mn mn mnnm mn nm 又即mnnmnm24 , 0, 04mn 4 11 mn2 1 1 4 6 cos 当且仅当时等号成立故的最小值为6 分2 nm 12 cosF PF 2 1 （）当 与轴重合时，构不成角 AMB，不合题意lx 当轴时，直线 的方程为，代入解得、的坐标分别lxl 2 7 x 22 1 43 xy AB 为、 而， 2 12 , 77 212 , 77 12 7 MN 90AMB 猜测为定值8 分90AMB 证明：设直线 的方程为，由 ，得l 2 7 myx 22 2 7 3412 xmy xy 22 12576 (34)0 749 mymy ， 10 分 12 2 12 7(34) m yy m 12 2 576 49(34) y y m 11221212 (2,) (2,)(2)(2)MA MBxyxyxxy y A 1112 1212 ()() 77 mymyy y 2 1212 12144 (1)() 749 my yyy 2 22 5761212144 (1) 49(34)77(34)49 m mm mm 49 144 )43(49 )34(144 2 2 m m 0 为定值。(AB 与点 M 不重合) 13 分90AMB 20 （）解：解：（）设 ，).,( , ),( , ),( 00MM yxMyxGyxCMBMA 点在线段的中垂线上由已知 1 分MAB( 1,0) , (1,0) ,0 M ABx 又，又，GMAB 0 yyM0GCGBGA ， 0 , 0,1,1 000000 yyxxyxyx 3 分 3 3 , 3 00 y y y y x x M ， ，MCMB 2 2 2 2 3 00 3 10 y y x y ，顶点的轨迹方程为 5 分1 3 2 2 y x0yC1 3 2 2 y x0y （）设直线 方程为：，l)0)(3(kxky),( 11 yxE),( 22 yxF 由 消去得： 1 3 )3( 2 2 y x xky y03963 2222 kxkxk ， 7 分 3 6 2 2 21 k k xx 3 39 2 2 21 k k xx 由方程知，39346 22 2 2 kkk0 ， 9 分 2 k 8 3 0k0 2 k 8 3 而 21 2 212121 4)( 2 |3 | 2 3 |3 2 1 xxxx k xxkyyS ABC 11 分 9