2020年全国百校联盟数学高考最后一卷试卷

2020年全国百校联盟高考最后一卷数 学（模拟）特级教师 王新敞 【命题报告】考点、题型及渗透05年06年07年考点不等式的性质268均值不等式356解不等式11122不等式证明243题型选择题41324填空题810解答题455渗透内容集合与函数41725三角1数列232解析几何7其它264通过对的研读，结合，及其近三年的全国卷和各地试卷的特点（如不等式，见图表）特命制本试卷.命题时，注重对基础知识的全面考查，同时又强调考查学生的思维能力.在试题的设计上，进行了一些创新尝试，比如第11题的统计，第15题是一道直线与圆和向量的相结合的综合题，第22题是导数、函数的综合问题，题型比较新.命题时还在知识点的交汇点处设计试题，强调知识的整合，比如第7题（理科）是一个数列和绝对值不等式的综合问题，对运用均值不等式能力要求较高的题.总之本套试卷很好地代表了高考的命题趋势和方向.本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第I卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合，则 B C D1. B， 【命题动向】解含有绝对值的不等式，是近几年的热点，一般会与集合融为一体.2（理科）化简复数得（）A B C D 2.（理科）D. 【命题动向】复数每年几乎都有一个选择题出现，主要考察复数基本运算.2. （文科）函数的最小正周期为（）A B C D 2.（文科）B. 因为函数，所以 【命题动向】三角恒等式的变形、周期等知识点出现率很高，属于基础题型.3等比数列中，若 ，则公比A B C D3B 【命题动向】在选择题中等差、等比数列是每年必有的基础题之一，主要考察等差、等比数列的基本概念、性质和通项公式、前n项和公式.4（理科）双曲线的渐近线与准线的夹角是 A B C D4.（理科）C双曲线的渐近线为，准线为， 故夹角是.【思路点拨】双曲线的渐近线方程为，即准线为.4（文科）以抛物线的焦点为圆心，且与轴相切的圆的方程为（）A B C D 4.(文科)A 抛物线的焦点为，则以焦点为圆心，且与轴相切的圆的方程为. 【思路点拨】以点为圆心，且与轴相切的圆的半径就是的横坐标1. 5已知直线和平面,则的一个必要非充分条件是 A 、 B 、C 、 D 与成等角5D其中A、C既非充分也非必要条件，B充分非必要条件 【思路点拨】由条件能够推出结论成立，条件就是结论的充分条件；由结论能够推出条件成立，条件就是结论的必要条件.本题的结论是：.6 向量，若，则这样的向量有 （ ） A 1个 B 2个 C 多于2个 D 不存在6.A. .【思路点拨】对于连等式，在具体使用时一般转化成方程组的形式.7 (理科) 若是与的等比中项，则的最大值为（ ）A. B. 1 C. D.7.(理科)B. 是与的等比中项， 根据均值不等式：.即的最大值为1.故选B.【思路点拨】先用等比数列的概念建立关系式,再用均值不等式(当且仅当ab时取“=”号)中的求最值.7. (文科)关于x的不等式的解是:A B C D 7.(文科). 【温馨提醒】这是含有参数的绝对值不等式，不但要正确的取绝对值符号，还要熟记三角恒等式，因此，要打好基础.8 将指数函数的图像按向量=平移后得到右图，则= ABCD8.A设，它按=平移后得到，由图知它过点，代入得 =【知识拓展】函数的图像按=平移，其中表示左右平移，为正数是向右平移，为负数是向左平移；表示上下平移，为正数是向上平移，为负数是向下平移.9 现有一块长轴长为20分米，短轴长为16分米的椭圆形玻璃镜子，欲从此镜中划出一块面积尽可能大的矩形镜子，则可划出的矩形镜子的最大面积为 （ ）A.40平方分米 B.80平方分米 C.160平方分米 D.320平方分米9. C.如图可设A的坐标为，则有（平方分米）【方法点拨】对于圆锥曲线上的动点求极值时，一般设为参数形式便于求解.10 A、B、C、D、E五个人站成一排,A站中间且与B不相邻的排法种数为（ ）A 12 B 24 C 36 D 4810. A站中间且与B不相邻，B有2种站法，C、D、E依次站在余下的位置，有6种站法，所以共有2612种站法.【方法点拨】解决排列组合问题的几个常用方法：插空法解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决捆绑法相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列 剪截法：n个 相同小球放入m(mn)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m段（插入m1块隔板），有种方法.错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.11. （理科）某单位名青年职员的体重服从正态分布，且正态分布的密度曲线如图所示，若体重属于正常情况， 则这名青年职员中体重属于正常情况的人数约是（其中 ）A B C D11.（理科）A令 =体重属于正常情况的人数约是. 【帮你归纳】非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可 11（文科）某单位青年、中年、老年职员的人数之比为，从中抽取名职员作为样本，若每人被抽取的概率是，则该单位青年职员的人数为 ABCD11.（文科）C设每一份为人，则共有人，由，得 所以，该单位青年职员共有人.【帮你归纳】用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为；12 如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A B C D12. 设经过定点(4，2)的椭圆的弦的端点分别为，则有，两式相减得，即 弦的轨迹方程是 【方法探究】关于直线和圆锥曲线的问题，一般使用点差法运算简洁.特别是中点弦问题，点差法就是设曲线上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），BC中点M（x0，y0），且有x1+x22 x0， y1+y22y0.通过曲线方程的巧妙变形达到对A（x1，y1）、B（x2，y2）设而不求的桥梁的作用，求出的值.第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.13 设，式中变量满足条件 ，则有最大值_.13. 11. 由已知，变量满足的每个不等式都表示一个平面区域，因此所表示的区域为如图中的四边形ABCD. 在点A处达到最大值11.【拓展迁移】用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.14在的展开式中的系数是 （用数字作答）145. 的系数是.【总结点评】求展开式中某项的系数问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综合应用15 过点A(-2,0)引直线交圆于P、Q两点,则的值为 15.填3. 设PQ的中点为M，|OM|d，则|PM|=|QM|=,|AM|=方法二：设过点A(-2,0)引直线的倾斜角为，其参数方程为（t为参数，其几何意义为A到动点的数量），代入圆，化简得.设交点P、Q对应的参数分别为，则方法三：特值法，设过点A(-2,0)引直线交圆于P(-1,0)、Q(1,0)两点,则= (1,0)(3,0)3. 【方法点拨】解圆与直线的综合问题时,注意数形结合及利用圆的几何性质. 圆的有关几何性质的应用往往可以简化问题,由直线或圆的参数方程设点的坐标在解题中应用也非常广泛.当然，对于选择题、填空题不可忽视特值法.16 已知四面体ABCD的所有棱长均为3,顶点A、B、C在半球的底面内,顶点D在半球球面上,且在半球底面上的射影为半球球心,则此半球的体积是 答案：.解析：半球的半径就是四面体ABCD的高, 【帮你归纳】球与其它几何体的切接问题，要仔细观察、分析、弄清相关元素的位置关系和数量关系.正四面体的高是棱长的倍.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知，其中 （1）若，求； （2）求函数的单调递增区间17解：= 3分 , 4分（1）由得 或 或 6分（2）当, 时, 随增大而增大,所以递增区间为 , 10分【思路点拨】求三角函数的单调区间：函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的，对于三角函数一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负.18（理科）（本小题满分12分）袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p () 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布率及数学期望E () 若A、B两个袋子中的球数之比为1：2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值18（理科）解 ()（i）由题意前4次中有两次摸到了红球，第5次摸到的也是红球，概率为： 2分(ii)随机变量的取值为0，1，2，3，；由n次独立重复试验概率公式，得； （或）随机变量的分布列是0123P 6分的数学期望是 8分()因为 A、B两个袋子中的球数之比为1：2，设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球 由于从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p袋子A中有个红球，袋子B中有个球 10分A、B中的球装在一起后，共有红球个， ，得 12分 【总结点评】本题考查利用概率知识和期望的计算方法 知识依托 概率的计算及期望的概念的有关知识 错解分析 在本题中，随机变量的确定，稍有不慎，就将产生失误 技巧与方法 可借助n次独立重复试验概率公式计算概率 数学期望: 一般地，若离散型随机变量的概率分布为x1x2xnPp1p2pn则称 为的数学期望，简称期望18（文科）（本小题满分12分）把4封不同的信件任意投入4个不同的邮箱内（每个邮箱装信件数不限），计算：（1）无空邮箱的概率；（2）恰有一个空邮箱的概率.18（文科）解：4封信任意投入4个不同的邮箱内有n=44种等可能的结果. 2分（1）其中无空邮箱的结果有m=A种， 4分所求概率为 P=. 答：无空邮箱的概率是. 6分（2）先求恰有一空邮箱的结果数：选定一个空邮箱有C种，选两个封信放入一邮箱有CA种，其余两封信放入两邮箱有A种.故恰有一个空邮箱的结果数为CCAA, 10分所求概率P（A）=.答：恰有一个空邮箱的概率是. 12分【帮你归纳】等可能性事件的概率公式及一般求解方法 求解等可能性事件A的概率一般遵循如下步骤：（1）先确定一次试验是什么,此时一次试验的可能性结果有多少，即求出n.（2）再确定所研究的事件A是什么,事件A包括结果有多少,即求出m.（3）应用等可能性事件概率公式P=计算. 确定m、n的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固定的模式,可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏.19 (理科) （本小题满分12分） 已知数列的前n项和是满足： ()求的值;()求数列的通项公式;() 求的值 19.（理科）解：（），由，令分别得 4分（），（2）两式相减，得 即 6分（也适合） 8分（）由 10分 12分【方法点拨】当数列有递推关系式，一般用得到；当数列有递推关系式，一般用得到.19 (文科)（本小题满分12分） 已知数列的前n项和是满足： ()求的值;()求数列的通项公式;()求和 19. （文科） 解：（），由，令分别得 4分（），（2）两式相减，得 即 6分（也适合） 8分（）由 10分 12分【方法点拨】 通项与前n项和的关系：； 裂项相消法：20（本小题满分12分）如图，在正方体中，是的中点，是侧面的中心 证明； 求二面角的大小（用反三角函数表示）20解法一：过点作于，连接，由已知及正方体的性质，易知平面，且是的中点，所以 分过点作于，连接平面，平面，于是就是二面角 的平面角设，在中， 在中二面角的大小为 12分 解法二：如图建立直角坐标系，设正方体的棱长为，则，所以， ，即4分易知平面的一个法向量是，设平面的法向量为，则,，于是即 ，令， 二面角的大小为（或）12分【总结点评】 解法一与解法二从两个不同角度证明两直线垂直和求二面角解法一体现传统方法作证算；解法二把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点 【方法点拨】二面角的平面角（根据具体图形确定是锐角或是钝角）或（，为平面，的法向量）21（本小题满分12分）已知点A(-2,0),B(2,0)，直线AC，BC的斜率乘积等于 求点C的轨迹方程；若直线与点C的轨迹交于P、Q两点，直线AP、AQ分别交直线于M、N两点，求证：M、N两点的纵坐标之积为定值 21 （）设，由 得 化简，得点的轨迹方程是 4分（）设由 得 ，于是 6分 将分别代入直线与中得 ， 8分 ，将，代入化简得 . 12分【拓展迁移】解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助图形的几何性质更为方便.涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用点差法，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式d=.再结合韦达定理解决.焦点弦的长也可以直接利用焦半径公式处理，可以使运算简化.22（理科）（本小题满分12分）已知函数 当时，求的最小值； 若在上是单调函数，求的取值范围22.（理科）解：（1）时， 2分当当 故 4分（2）函数 6分又在上是单调函数 在上0，或0 8分 在上0，或0 或 或. 12分【奇招妙论】对于参数及函数.若恒成立，则；若恒成立，则；若有解，则；若有解，则；若有解，则.（若函数无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论）.22（文科）（本小题满分12分）， 当时，求的最小值； 若在上是单调函数，求的取值范围22. （文科）解：（1）时， 2分当当 故 4分（2）， 6分又在上是单调函数 在上0，或0 8分 或 或. 12分【规律总结】利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤.（1）求（x）.（2）确定（x）在（a，b）内符号.（3）若（x）0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若（x）0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数.【奇招妙论】对于参数及函数.若恒成立，则；若恒成立，则；若有解，则；若有解，则；若有解，则.（若函数无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论）.【考纲梳理与考向预测】：1. 了解知识背景掌握解题方法.2. 考纲与去年相比，总体保持平稳，降低了几个知识点的要求，如三角函数、立体几何等.3. 具体变化为：要求学生应了解知识的背景，如导数概念的某些背景（瞬时速度、加速度、平滑曲线的切线等）. 对学生数学思维及运算能力的要求相应有所提高；对“平面”的性质的要求，由掌握变为理解，更切合学生