2020届高三数学考前解答题专练：解析几何

2020届高三考前解答题专练：解析几何1、已知定点A（1，0）和定直线x=-1上的两个动点E、F，满足，动点P满足（其中O为坐标原点）.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点B（0，2）的直线l与（1）中轨迹C相交于两个不同的点M、N，若，求直线l的斜率的取值范围.解：（1）设、均不为0）由2分由即4分由得动点P的轨迹C的方程为6分 （）设直线l的方程联立得8分且 10分 12分2、已知椭圆的右焦点为F,右准线为，且直线与相交于A点.()若C经过O、F、A三点,求C的方程；()当变化时, 求证：C经过除原点O外的另一个定点B；()若时,求椭圆离心率的范围.解:（）,即, ,准线, 设C的方程为,将O、F、A三点坐标代入得：,解得C的方程为（）设点B坐标为,则,整理得：对任意实数都成立,解得或,故当变化时，C经过除原点O外的另外一个定点B（）由B、得, ,解得 又 ,又椭圆的离心率（） 椭圆的离心率的范围是3、已知椭圆的左、右两个焦点为、，离心率为，抛物线与椭圆有公共焦点。()求椭圆和抛物线的标准方程；()设直线经过椭圆的左焦点，与抛物线交于不同两点、，且满足=，求实数的取值范围。解：()椭圆中， (1分), (2分)椭圆的标准方程为。 (3分)在抛物线中， (4分)抛物线的标准方程为：。 (5分) ()设直线的方程为：， (6分) 则有 ， 消去，整理得， (7分)直线和抛物线有两个交点解得：或 。 (8分)设，则 (9分)=， (10分) ，即。由，解得：， (11分)， (12分) (13分)解得且。 (14分4、已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l： 求椭圆的标准方程； 设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值解：椭圆C的短轴长为2，椭圆C的一条准线为l：， 不妨设椭圆C的方程为（2分） ，（ 4分） 即（5分） 椭圆C的方程为（6分） F（1，0），右准线为l：， 设， 则直线FN的斜率为，直线ON的斜率为，（8分） FNOM，直线OM的斜率为，（9分） 直线OM的方程为：，点M的坐标为（11分） 直线MN的斜率为（12分） MNON， ， ，即（13分） 为定值（14分）5、过抛物线的对称轴上的定点，作直线与抛物线相交于两点. （）试证明两点的纵坐标之积为定值； （）若点是定直线上的任意一点，分别记直线的斜率为，试探求之间的关系，并给出证明.（1）证明:.设 有，下证之：设直线的方程为:与联立得，消去得4分由韦达定理得 ,6分（2）解：三条直线的斜率成等差数列，9分下证之：设点，则直线的斜率为;直线的斜率为13分又直线的斜率为14分，即直线的斜率成等差数列. 15分6、已知两点，点为坐标平面内的动点，且满足.()求点的轨迹的方程;()设过点的直线斜率为，且与曲线相交于点、，若、两点只在第二象限内运动，线段的垂直平分线交轴于点，求点横坐标的取值范围.解:()设点，根据题意则有：代入得：3分整理得点的轨迹的方程5分 ()设由题意得:的方程为(显然)与联立消元得：7分则有：再由，则，得8分可求得线段中点的坐标为所以线段的垂直平分线方程为10分令得点横坐标为因为直线交轨迹于两点，所以12分所以所以点横坐标的取值范围为14分7、已知椭圆左、右焦点分别为F1、F2，点，点F2在线段PF1的中垂线上。 （1）求椭圆C的方程； （2）设直线与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为，且，求证：直线过定点，并求该定点的坐标。解：（1）由椭圆C的离心率得，其中，椭圆C的左、右焦点分别为又点F2在线段PF1的中垂线上解得 4分 （2）由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为由消去设则且 8分由已知，得化简，得 10分整理得直线MN的方程为，因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0） 12分8、已知、B、C是椭圆M：上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆M的中心，且 （1）求椭圆M的方程； （2）过点的直线（斜率存在时）与椭圆M交于两点P、Q，设D为椭圆M与轴负半轴的交点，且求实数的取值范围。（1）点A的坐标为（），椭圆方程为1分又，且BC过椭圆M的中心（0，0），2分又AOC是以C为直角的等腰三角形，易得C点坐标为（，）3分将（，）代入式得椭圆M的方程为4分 （2）当直线的斜率，直线的方程为则满足题意的t的取值范围为5分当直线的斜率0时，设直线的方程为由得6分直线与椭圆M交于两点P、Q，=即8分设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ中点，则的横坐标，纵坐标，D点的坐标为（0，-2）由，得，即即。11分。由得，结合得到13分综上所述，14分9、已知椭圆，它的离心率为，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.求椭圆的方程；设椭圆的左焦点为，左准线为，动直线垂直于直线，垂足为点，线段的垂直平分线交于点，求动点的轨迹的方程；将曲线向右平移2个单位得到曲线,设曲线的准线为，焦点为，过作直线交曲线于两点，过点作平行于曲线的对称轴的直线，若，试证明三点（为坐标原点）在同一条直线上解：（）由题意可得 ， （2分）由，得，, 椭圆的方程为. （4分） （）由（）可得椭圆的左焦点为，左准线为, 连结，则，设，则,， （6分）化简得的方程为. （8分） （）将曲线向右平移2个单位,得曲线的方程为: ,其焦点为，准线为，对称轴为轴（10分）设直线的方程为，代入y2=4x，得y24ty4=0由题意，可设()，()，则y1y2=4，且有 （12分），得三点共线 （14分）评析：证明三点共线的方法很多,这里运用向量共线定理来证，体现了平面向量与解析几何知识的交汇和平面向量知识在解析几何中的应用近几年的高考突出了在知识网络的交汇点处设计命题的要求，平面向量与解析几何知识的综合考查成为一个不衰的热点，复习中要引起重视.10、已知是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在椭圆上，且，是以为直径的圆，直线：与相切，并且与椭圆交于不同的两点（I）求椭圆的标准方程；（II）当，且满足时，求弦长的取值