2020届高考数学第二轮专题讲座专题七 平面向量及其运用 人教版

2020届高考数学第二轮专题讲座专题七 平面向量及其运用【考点聚焦】考点1：向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积.考点3：解斜三角形.考点4：线段的定比分点、平移公式.考点5：向量的运用.【自我检测】1、 叫做向量；2、 叫做共线向量（平行向量）；3、 叫做相等向量；4、 叫做单位向量.5、 向量加法法则是，.减法法则是.6、 设a（x1,y1），b（x2,y2），Ra b，它满足的运算性质有.a b，它满足的运算性质有.a，它满足的运算性质有.，它满足的运算性质有.cos=_=_.a b；a b.7、 正弦定理的内容是.8、 余弦定理的内容是.9、定比分点坐标公式是（其中）.10、平移公式是 _.【重点难点热点】问题1：向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.例1：已知a是以点A(3,1)为起点，且与向量b = (3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是.思路分析：与a平行的单位向量e= 方法一：设向量a的终点坐标是(x,y),则a =(x-3,y+1)，则题意可知，故填 (,-)或(,-)方法二与向量b = (-3,4)平行的单位向量是(-3,4)，故可得a(-,)，从而向量a的终点坐标是(x,y)= a(3,1),便可得结果.点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.例2：已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60, x =2ab，y=3ba,则x与y的夹角是多少？思路分析：要计算x与y的夹角，需求出|x|,|y|,xy的值.计算时要注意计算的准确性.解：由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角为60,得ab=|a|b|cos=.要计算x与y的夹角，需求出|x|，|y|，xy的值.|x|2=x2=(2ab)2=4a24ab+b2=44+1=3，|y|2=y2=(3ba)2=9b26ba+a2=96+1=7.xy=(2ab)(3ba)=6ab2a23b2+ab =7ab2a23b2 =723=，又xy=|x|y|cos，即=cos，cos=，=arccos.即x与y的夹角是arccos点评：本题利用模的性质|a|2=a2，在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设=b, =a, =2a,BAC=60.由向量减法的几何意义，得=2ab.由余弦定理易得|=，即|x|=，同理可得|y|=.问题2：平面向量与函数、不等式的综合运用当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以设计出有关函数、不等式的综合问题.此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：利用向量平行或垂直的充要条件，利用向量数量积的公式和性质.例3已知平面向量a(，1)，b(, ).(1) 若存在实数k和t，便得xa(t23)b, ykatb，且xy，试求函数的关系式kf(t)；(2) 根据(1)的结论，确定kf(t)的单调区间.思路分析：欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？解：（1）法一：由题意知x(,), y(tk，tk)，又xy故x y（tk）(tk)0.整理得：t33t4k0，即kt3t.法二：a(，1)，b(, ), . 2，1且abxy，x y0，即k2t(t23)20，t33t4k0,即kt3t(2) 由(1)知：kf(t) t3t kf(t) t3,令k0得1t1；令k0得t1或t1.故kf(t)的单调递减区间是(1, 1 )，单调递增区间是（，1）和（1，）.点评： 第（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）.第（2）问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.演变3： 已知平面向量(，1)，(，)，若存在不为零的实数k和角，使向量(sin3), k(sin),且，试求实数k 的取值范围.点拨与提示：将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力.演变4：已知向量，若正数k和t使得向量垂直，求k的最小值.点拨与提示：（1）利用向量垂直的充要条件找到k与t之间的等量关系.（2）利用均值不等式求最值.问题3：平面向量与三角函数的综合运用向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查.例4设函数f (x)a b，其中向量a(2cosx , 1), b(cosx,sin2x), xR.（1）若f(x)1且x，求x；（2）若函数y2sin2x的图象按向量c(m , n) ()平移后得到函数yf(x)的图象，求实数m、n的值.思路分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，解： (1)依题设，f(x)（2cosx，1）(cosx,sin2x)2cos2xsin2x12sin(2x)由12sin(2x)=1，得sin(2x).x , 2x,2x=, 即x.（2）函数y2sin2x的图象按向量c（m , n）平移后得到函数y2sin2(xm)+n的图象，即函数yf(x)的图象.由(1)得f (x) ， m，n1. 点评： 把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是C，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.一般地，函数yf (x)的图象按向量a(h , k)平移后的函数解析式为ykf（xh）演变5：已知a=（cos，sin）,b=（cos,sin）(00,（ ab）（ab）0，a2（21）abb20，2（21）2cos4540，或（1）.演变2： 方程为：x12-y12=2 曲线为双曲线.演变3：由条件可得：k( sin)2,而1sin1, 当sin1时，k取最大值1； sin1时，k取最小值. 又k0 k的取值范围为 .演变4： ，|=，|= ， 代入上式 3k3 当且仅当t=，即t=1时，取“”号，即k的最小值是2.演变5：（1）证法一：a=（cos，sin）,b=（cos,sin）a+b（cos+cos，sin+ sin）, a-b（cos-cos，sin- sin）(a+b)(a-b)=（cos+cos，sin+ sin）（cos-cos，sin- sin）=cos2-cos2+sin2- sin2=0(a+b)(a-b)证法二：a=（cos，sin）,b=（cos,sin）|a|1，|b|1(a+b)(a-b)= a2-b2=|a|2-|b|2=0(a+b)(a-b)证法三：a=（cos，sin）,b=（cos,sin）|a|1，|b|1,记a，b，则|=1,又，O、A、B三点不共线.由向量加、减法的几何意义，可知以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，其中a+b，a-b，由菱形对角线互相垂直，知(a+b)(a-b)（2）解：由已知得|ka+b|与|a-kb|,又|ka+b|2(kcos+cos)2+(ksin+sin)2=k2+1+2kcos(),|ka+b|2(cos-kcos)2+(sin-ksin)2=k2+1-2kcos(), 2kcos()= -2kcos()又k0cos()000, =注：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明.演变6：设l的方程为yk(x1)，代入椭圆方程整理得（4k21）x28k2x4(k21)0.设C（x1,y2）,D(x2,y2)，则x1x2.由得 所以.同理，记E得其中 .演变7：C的焦点为F（1，0）,直线l的斜率为1，所以l的方程为yx1,将yx1代入方程y2=4x，并整理得x26x10设A（x1,y1）,B(x2,y2),则有x1x26, x1x21，从而x1x2y1y22x