2020年高考数学《排列 组合 二项式》专题 二项式定理学案

基础过关第5课时 二项式定理1(ab)n (nN)，这个公式称做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数 叫做二项式系数式中的 叫做二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项公式Tr1 是表示展开式的第r1项2二项式定理中，二项式系数的性质有： 在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即： 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即当n是偶数时，n+1是奇数，展开式共有n+1项，中间一项，即：第 项的二项式系数最大，为 ；当n是奇数时，n+1是偶数，展开式共有n+1项，中间两项，即第 项及每 项，它们的二项式系数最大，为 二项式系数的和等于，即 二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和 即 展开式中相邻两项的二项式系数的比是：3二项式定理主要有以下应用近似计算解决有关整除或求余数问题用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式（其做法称为“赋值法”）注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题 杨辉三角形典型例题例1. (1) （06湖南理11）若(ax1)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是 (2) （06湖北文8）在的展开式中，x的幂指数是整数的有 项(3) (1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)6展开式中x2项的系数为 解：（1）2 （2）5项 （3）35变式训练1：若多项式, 则( )A、9 B、10 C、9 D、10解：根据左边的系数为1,易知，左边的系数为0,右边的系数为, 故选D。 例2. 已知f(x)(1+x)m+(1+x)n，其中m、nN展开式中x的一次项系数为11，问m、n为何值时，含x3项的系数取得最小值？最小值是多少？ 由题意，则含x3项的系数为，当n5或6时x3系数取得最小值为30变式训练2：分已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为,其中,则展开式中常数项是( )A、 45i B、 45i C、 45 D、45解析： 第三项,第五项的系数分别为,依据题意有：,整理得即解方程(n10)(n5)0则只有n=10适合题意.由,当 时,有r=8,故常数项为=45 故选D例3. 若求（）+（）+（）解：对于式子：令x=0，便得到：=1令x=1，得到=1又原式：（）+（）+（）=原式：（）+（）+（）=2020注意：“二项式系数”同二项式展开式中“项的系数”的区别与联系.变式训练3：若，则的值是（ ）AB1 C0D2解：A例4. 已知二项式，（nN）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，（1）求展开式中各项的系数和（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项解：（1）第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，解得n=8令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)=1(2) 展开式中第r项, 第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为,若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足： 并且 ，解得5r6；所以系数最大的项为T=1792；二项式系数最大的项为T=1120变式训练4：已知()n的第5项的二项式系数与第三项的二项系数的比是14:3，求展开式中不含x的项.求(x1)(x1)2(x1)3(x1)4(x1)5的展开式中x2项的系数.解：小结归纳1注意(ab)n及(ab)n展开式中，通项公式分别为及这里且展开式都有n+1项，在使用时要注意两个公式的区别，求二项式的展开式中的指定项，要扣住通项公式来解决问题2二项式的展开式中二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及项数均有关3应用二项式定理计算一个数的乘方的近似值时，应根据题设中对精