2020高三数学二轮复习 一题多解专题三 利用导数证明不等式问题

一题多解主题3 :利用导数证明不等式问题1 .结构函数证明不等式的方法(1)对于左右边的构造相同的不等式，构造函数f(x )形成原来的不等式f(a)f(b )的形状(2)例如，对于f(x)g(x )，结构函数F(x)=f(x)-g(x ) .关于(3)的不等式，选择主要要素、结构函数(或)中所述情节，对概念设计中的量体体积进行分析2 .利用导数证明不等式的基本步骤(1)进行差和变形(2)构筑新的函数h(x )。(4)利用判断h (x )单调性或最大值的方法.例如：设为常数)，曲线和直线在(0，0 )点相接。(1)求出的值. (2)证明：当时【解题指南】(1)点在曲线上时，点的坐标满足曲线方程式的同时，根据导数的几何学意义再制作一个方程式，可以求出a、b(2)构造函数利用导数研究单调性，通过函数单调性证明不等式【解析】方法1:(1)从图像通过点(0，0 )得到b=-1点(0，0 )处的切线斜率为原则(2)当时令、则.令，届时因此，在(0，2 )内是递减函数，另外在这种情况下因此，在(0，2 )内是递减函数理由的话所以，马上方法2:(1)表明：基本不等式，当时，(I )是的，先生因此，(ii )从(I )、(ii )中得出，当时记住，当时因此，在(0，2 )内是递减函数，另外事故时目标练习：1.a为实数，函数f(x)=ex-2x 2a，xR。(1)求出1)f(x )单调区间和极值(2)求出证明：在aln 2-1、x0的情况下，exx2-2ax 1.在分析(1)中，从f(x)=ex-2x 2a，xR到f(x)=ex-2，xR .命令f(x)=0，x=ln 2.因此，当x变化时，f(x )、f(x )变化如下表所示x(-，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x )-是0f(x )单调递减2(1-ln 2 a )单调递增因此，f(x )的单调减少区间为(-，ln 2)，单调增加区间为(ln 2，)，f(x )以x=ln 2取极小值，极小值为f(ln 2)=2(1-ln 2 a ) .(g(x)=ex-x2 2ax-1，xR时，g(x )=ex-2 x2a，xR .由(1)可知，aln 2-1时，g(x )最小值为g(ln2)=2(1-ln2 a)0.而且，由于对于任意xR都是g(x ) 0，因此g(x )在r内单调地增加.因此，在aln 2-1的情况下，对于任意的x(0，)，有g(x)g(0) .通过使g(0)=0，任意x(0，)、g(x)0.即ex-x2 2ax-10，因此exx2-2ax 1.2 .函数向上作为递增函数。(1)求正实数的可取范围(二)要求设置、证明：解： (1)对恒成立要求恒成立。拿起来另一方面，从(1)可知，以上是增加函数即，即另一方面，设置函数以上是增加函数，在那里是连续的，另外2222222222222卡卡卡卡卡卡卡综上所述。3 .已知函数证明：对于任意两个正数，一定成立解：由：然后呢另外，“所以”就是“成立”。4 .设定、函数(1)求函数的单调区间(2)此时函数取极值，证明：任意的.解： (1)当时恒成立，以上是增加函数当时，令，即可解开因此，函数在区间内单调递增在区间内也单调增加。命令，解除因