第一章函数与极限电子教案第一节

二、映射,三、函数,1.映射的概念,二、映射,定义设X,Y是两个非空集合,若存在一个对应,规则f,使得,有唯一确定的,与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作,元素y称为元素x在映射f下的像,记作,元素x称为元素y在映射f下的原像.,射f的定义域;,Y的子集,称为f的值域.,注意,(1)映射的三要素定义域,对应规则,值域.,(2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.,集合X称为映,例1设f:RR，对每个xR，f(x)=x2.,f是一个映射，f的定义域Df=R，,显然，,值域Rf=y|y0，,值域Rf是R的一个真子集,对于Rf中的元素y，,除,y=0外，它的原像不是唯一的,y=4的原像就有x=2,x=-2两个,例2设X=(x,y)|x2+y2=1,Y=(x,0)|x|1,与之对应,f:XY，则对每个(x,y)X，有唯一确定的(x,0)Y,显然f是一个映射，定义域Df=X，值域,Rf=Y,在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在,原点的单位圆上的点投影到x轴上的区间-1,1上,例3设,f(x)=sinx,则f是一个映射，定义域,值域Rf=-1,1,对每个,对映射,若,则称f为满射.,上面的,是满射,若,有,则称f为单射.,对映射,上面的,是单射,若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射.,对映射,上面的,既是单射又是满射，故是双射,X(数集或点集),说明,在不同数学分支中有不同的惯用,X(),Y(数集),f称为X上的泛函,X(),X,f称为X上的变换,R,f称为定义在X上的函数,映射又称为算子.,名称.例如,2.逆映射与复合映射,定义设f是X到Y的单射，,则由定义，对每个y,有唯一确定的,适合f(x)=y.,于是，我们可,定义一个从Rf到X的新映射g，即,对每个yRf,规定g(y)=x,其中x满足f(x)=y.,则称,映射g为f的逆映射，,记作f-1,其定义域,值域,只有单射才存在逆映射,定义设有两个映射,其中Y1Y2,则由映射g和f可以定义一个从X到Z,的对应法则，它将每个xX映成fg(x)Z.,这个法,则确定了一个从X到Z的映射，,称之为映射g和f构成,的复合映射，记作,即,注意,(1)映射g和f能构成复合映射的条件是：RgDf.,(2)映射g和f构成复合映射是有顺序的，,有,意义时，,可能没意义，,即使它们同时都有意义，但,不一定表示同一映射,1.函数的概念,三、函数,定义设数集合DR，则称映射f:DR为定义,在D上的函数，通常简记为,y=f(x),xD,其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，,记作Df，即DfD,函数值f(x)的全体所构成的集合称,函数f的值域，记作Rf=f(D)=y|y=f(x),xD,两点说明,(1)定义域,对于抽象函数（即无具体实际背景），其定义域是,指使表达式有意义的全体实数的集合，称之为自然定义,域,自然定义域可以省略,对于有实际背景的函数，在,写书时必须写出定义域,例如，对于函数f(x)=x2，,它的自然定义域为(-,+)，,如果它表示正方形的面积,则其定义域为(0,+),(2)函数的表示法,函数的表示法有三种：表格法、图形法和解析法,用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐,标平面上的点集,C=P(x,y)|y=f(x),xD,称为函数y=f(x),xD的图形,例4求函数,的定义域和值域并画图,例5求函数,的定义域和值域并画图,例6求函数,的定义域和值域并画图,例7设x为任一实数，不超过x的最大整数称为x,的整数部分，记作x,例如，,求函数y=x的定义域和值域并画图,及,求f(x)的定义域及值域,并求,例8已知函数,示,从上述例子中看到，有时一个函数要用几个式子表,这种在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同,式子来表示的函数，通常称为分段函数,用几个式子来表示一个函数，不仅与函数定义并无,矛盾，而且有现实意义,在自然科学和工程技术中，经,常会遇到分段函数的情形,例如在等温过程中，气体压,强p与体积V的函数关系，当V不太小时依从玻意耳,(Boyle)定理：当V相当小时，函数关系就要用范德瓦,耳斯(vanderWanls)方程来表示，即,其中,都是常数,2.函数的几种特性,设函数,且有区间,(1)有界性,使|f(x)|M,使|f(x)|M,称f(x)为有界函数.,称f(x)在I上有界.,使f(x)M,称f(x)在I上有上界.,使f(x)M,称f(x)在I上有下界.,使|f(x0)|M,称f(x)在I上无界.,例9设函数y=f(x)的图形分别如下所示，讨论,函数的有界性,无界,无界,有界,称f(x)为I上的单调增函数;,(2)单调性,称f(x)为I上的单调减函数,单调增,单调减,x1,x2I,x10且a1)，,对数函数,y=logax(a0且a1)，a=e时，记为y=lnx,三