2020届高三数学一轮总复习 第四章 平面向量（文）（教师用书）

第四章平面向量高考指南考试要求难点击命题展望1 .平面向量的实际背景和基本概念(1)知道向量的实际背景(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义(3)理解向量的几何表示2 .向量的线性运算(1)把握向量加法、减法的运算，理解其几何意义(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义(3)理解向量线性运算的性质及其几何意义3 .平面向量的基本定理及其坐标表示(1)理解平面向量的基本定理及其意义(2)把握平面矢量的正交分解及其坐标表示(3)用坐标表示平面矢量的加法、减法、数乘法(4)理解用坐标表示的平面矢量共线的条件。4 .平面向量的数积(1)理解平面向量数积的含义及其物理意义(2)知道平面矢量的数积和矢量投影的关系(3)掌握数量积的坐标式，进行平面矢量的数量积的运算(4)可以用数量积表示两个向量的角度，用数量积判断两个平面向量的垂直关系5 .向量的应用(1)用向量法求解几个简单的平面几何问题(2)用向量法解决一些简单的力学问题和其他一些实际问题本章要点：1 .向量的各种运算2 .向量的坐标运算和数形耦合的思想3 .向量的整数乘积已被应用于证明向量相等、两个向量如垂直、投影、角度等问题本章的难点：1 .向量直角坐标运算在证明向量垂直和平行问题中的应用2 .矢量的角度式和距离式应用于求平面上两条直线的角度和两点间的距离矢量是现代数学中重要的基本数学概念之一，是代数、几何和三角函数的交流工具，既有极其丰富的现实背景，又是数学结合思想运用的典范，矢量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，成为中学数学知识的一个接点。 大学入学考试中，不仅考察向量本身的基础知识和方法，而且多与分析几何、三角函数、数列等一起进行综合考察。在试验要求的水平上，更加强调向量的实际背景、几何意义、运算功能和应用价值知识网络4.1平面向量的概念与线性运算典型的精析有关问题向量的概念【例1】以下命题：与矢量的长度相等如果向量a和向量b平行，则a和b的方向相同或相反具有共同起点的两个单位向量，终点必须相同矢量和矢量是共线矢量，a、b、c、d必定在同一直线上.其中真命题的编号【解析】这样零矢量和任意一个矢量是平行矢量，但由于零矢量的方向是任意的，因此错误的如果是明显错误的共线矢量，则a、b、c、d可以在同一直线上，也可以不在同一直线上，因此错误正确理解向量概念是解决问题的关键，注意特殊情况，否定某个命题只需举反例即可【变体训练1】包括以下内容|a|=；(ab) c=a (bc )-=；在任意四边形ABCD中，m为AD的中点，n为BC的中点，=2；a=(cos ，sin )，b=(cos ，sin )，且在a和b不共线情况下，为(a b)(a-b ) .正确的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选择D.| a|=正解(ab ) ca (BC ) fu如正确的下图所示=且=，加上二式2=，即命题是正确的由于a、b不是共线，而是|a|=|b|=1，所以a b、a-b是菱形的对角线即得(a b)(a-b )所以命题是正确的有关问题型双向量线性运算的问题如图所示，ABCD为平行四边形，AC、BD与点o相交，点m在线段DO上，点n在线段OC上，设=a、=b，尝试a、b时【解析】在ABCD中，AC、BD交于点o=(-)=(a-b )=()=(a b )又=，=，所以=b=b (a-b)=a b=(a b)=(a b )所以=-=(a b)-(a b)=a-b。向量的线性运算的重要作用之一是能够用平面内的两个非共线向量表现平面内的任意向量，即平面向量的基本定理的应用，在利用向量解决问题时常需要这种变形。o是平面上点，a、b、c是平面上的不共用线的3点，平面内的动点p满足=()，在=的情况下，()的值为.【解析】已知的-=()即=()、=时，=()、2=，即-=-，所以=所以=0因此()=0=0，所以填充0 .问题型三矢量共线问题【例3】2个非零矢量a和b不共线。(1)如果=a b、=2a 8b、=3(a-b )的话寻求证据： a、b、d三点共线(为了使ka b和a kb成为共通线，尝试决定实数k。【解析】(1)证明：=a b、=2a 8b、=3(a-b )=2a 8b 3(a-b)=5(a b)=5因为我们有共同点b所以a、b、d是三点共线(因为ka b和a kb是共通线存在实数以使得ka b=(a kb )因此，(k-)a=(k-1)b .a和b是非共线的两个非零矢量因此，因为k-=k-1=0，所以k2-1=0，所以k=1.(1)在向量共线性的充分条件中，对于两向量共线性，通常只注意非零向量表示与其共线性的其它向量，而保留系数法的运用和方程式思想(2)三点共线问题的证明可以通过矢量共线解决，但是注意矢量共线和三点共线的不同和联系，在两矢量共线有共同点的情况下，可以得到三点共线【变形式训练3】o是正三角形BAC内部的一点，如果已知2 3=0，则OAC的面积与OAB的面积之比为()A.B .C.2D如图所示，在三角形ABC中，2 3=0，整理起来为2222222222222222222222222222652如果将三角形ABC中AB边上的高度设为h，则soac=soae soec=oe()=oehSOAB=ABh=ABh因为AB=2EF，OE=EF，所以AB=3OE所以选择=.b综合提高1 .矢量共线也称为矢量平行，与直线平行有区别，直线平行是不包含共线(即重叠)的情况，矢量平行是包含共线(即重叠)的情况.2 .判断两个非零向量是否平行，实际上找到一个实数，使该实数和一个向量能够表示另一个向量3 .向量a和b在同一直线上时，|a b|=|a| |b|；在矢量a和b共线相反的情况下，|a b|=|a|-|b|；如果向量a和b不是共线，则|a b|a| |b|4.2平面向量的基本定理及其坐标表示典型的精析问题型单平面向量基本定理的应用在图1中，m，n分别是DC，BC的中点，已知=a，=b，试用a，b表示【解析】易懂=，=，即，即因此=(2b-a )、=(2a-b )所以=(a b )【点刻度盘】平面向量的基本定理和线性运算可以用基来表示平面内的任何向量。 这个处方程序思想的运用值得深入理解【变形式训练1】d为ABC的边BC上的中点，ABC所在的平面内有点p，2222222000000000652A.B. C.1 D.2因为d是BC边缘上的中点，所以从向量加法的平行四边形定律可以更容易地看到=2，2222222222222222222222222222652问题型双向量的坐标运算已知a=(1，1 )，b=(x，1 )，u=a 2b，v=2a-b .(u=3v时，求出x (2)如果是u=3v，则求出x .【解析】因为a=(1，1 )，b=(x，1 )u=(1，1 )2(x，1 )=(1，1 ) (2x，2 )=(2x 1，3 )v=2(1，1 )-(x，1)=(2-x，1 )(1) u=3v (2x 1，3 )=3(2- x，1 )(2x 1，3 )=(6-3x，3 )因此，求解2x 1=6-3x、x=1(2) u v (2x 1，3 )=(2- x，1 )(2x 1)-3(2-x)=0x=1。坐标所表示的向量在解题中重要的是向量相等，即坐标相等，应该重视。已知向量an=(cos，sin)(nN* )，|b|=1.函数y=|a1 b|2 |a2 b|2 |a3 b|2 |a11 b|2的最大值是因为设为b=(cos ，sin )，所以y=|a1b|2|a2b|2|a3b|2|a 141 b|2=(a1)2b2(cos，sin)(cos ，sin ) (a141)2 b2 2(cos，sin)(cos ，sin )=282 2cos(-)，因此问题型三平行(共线)向量的坐标运算已知将ABC角a、b、c相对的边分别设为a、b、c，矢量m=(a，b )，n=(sin B，sin A )，p=(b-2，a-2 ) .(1)mn的话，ABC为等腰三角形(2)求出mp、边长C=2、角ABC面积.【解析】(1)证明：因为mn，所以asin A=bsin B根据正弦定理，a2=b2，即a=b .因此ABC成为等腰三角形.(2)因为mp，所以mp=0，即由于a(b-2) b(a-2)=0，因此a b=ab .根据馀弦定理，4=a2 b2-ab=(a b)2-3ab(ab)2-3ab-4=0ab=4或ab=-1 (截断)SABC=absin C=4=【拨号盘】m=(x1，y1)，n=(x2，y2)时mnx1y2=x2y1； mnx1x2 y1y2=0已知【变形例训练部3】a、b、c分别在ABC的三个内角a、b、c的对边，向量m=(2cosC-1，-2)，n=(cos C，cos C 1)A.10-5B.10 5C.10-2D.10 2由mn得到2cos2C-3cos C-2=0，解除(舍去) cos C=-或cos C=2，所以c2=a2b2-2abcosc=a2b2ab=(a b )2- ab=100-ab，10=a b2ab25到c275，即c5综合提高1 .向量坐标表示实际上是向量的代数表示，并且在导入向量坐标表示之后，可以完全代数化向量运算，并且紧密地结合整数与形式。 矢量方法是几何方法和代数方法的结合体，许多几何问题可以转化为众所周知的矢量运算。2 .向量运算要特别注意方程思想的运用3 .向量运算分为向量形式和坐标形式。 矢量形式是平行四边形法则和三角形法则，坐标形式代入矢量的直角坐标。4.3平面向量的数积与向量的应用典型的精析问题类型利用平面向量的数积解决类型、角度问题已知a、b的角度为120，且|a|=4、|b|=2，求出：(1)|a b|(2)(a 2b) (a b )(3)a与(a-b )所成的角【解析】(1)(a b)2=a2 b2 2ab=16 4-242=12因此|a b|=2.(2)(a 2b) (a b)=a2 3ab 2b2=16-342 24=12。(3)a(a b)=a2 ab=16-42=12。因为cos =，所以=通过利用向量的几何积的定义、性质、运算法，能够解决向量的模、角度等问题已知向量a、b、c满足|a|=1、|b|=2、c=a、b、ca，a和b所成角的大小是.【解析】caca=0a2 ab=0cos =-、=120问题类型2利用数量乘积解决与垂直平行的问题在ABC中，=(2，3 )、=(1，k )，ABC一个内角为直角，求出k的值.【解析】A=90时=0所以，因为21 3k=0，所以k=-；B=90时=0又来了，呵呵，呵呵，呵呵，呵呵，呵呵，呵呵，呵呵，呵呵，呵呵，呵呵，呵呵，呵呵，呵呵2(-1) 3(k-3)=0k=；C=90时=0-1 k(k-3)=0k2-3k-1=0k=k值为-或哪个角是直角还没有决定，必须进行分类讨论.在三角形中计算两个矢量的数积时，必须注意方向和两个矢量的角度.【变体训练2】ABC中AB=4、BC=5、AC=6求的【解析】22=() () ()=() () ()=2222=-42-62-52=-77。所以，22222222222222222222222222222222222问题型三平面向量数积的综合问题轴Ox、Oy与点o相交，构成xOy=、一个平面斜坐标系，e1、e2分别是与Ox、Oy相同方向的单位矢量，如果设p为坐标平面内的一点，设=xe 1、e2，则点p的坐标为(x，y )，已知q(-1,2、2 ) .(1)求出|的值与Ox的角度(2)求出通过点q直线