高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.2.1 对数与对数运算教材梳理素材 新人教A版必修1（通用）

2.2.1 对数与对数运算疱丁巧解牛知识巧学升华一、对数1.对数 一般地，如果ax=N（a0，a1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.对数式的对数就是原指数式的指数，只是表示形式不同而已，即已知指数式ab=N，用a、N表示b的运算叫对数运算，记作b=logaN. 对数式是指数式的另一种表达形式，对数运算是指数运算的逆运算.常用符号“log”表示对数，但它仅是一个符号而已.同“+、-、”等符号一样，表示一种运算.要从以下几个方面来理解对数的概念（1）会依据定义把指数式写成对数式. 例如：32=9，2是以3为底9的对数.记作log39=2；41=4，1是以4为底4的对数.记作log44=1；20=1，0是以2为底1的对数.记作log21=0；=，-是以8为底的对数.记作log8=-.（2）logaN=b中规定底数a0且a1. 这是因为若a0，则N为某些值时，b不存在，如log（-2）；若a=0，N不为0时，b不存在，如log03，N为0时，b可为任意正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N不为1时，b不存在，如log12，N为1时，b可为任意数，是不唯一的，即log11有无数个值.总之，就规定了a0且a1.(3)只有正数才有对数，零和负数没有对数. 在解决有关对数问题时，容易忽视对数的真数大于零的问题因为底数a0且a1，由指数函数的性质可知，对任意的bR，ab0恒成立，并且由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以N0.（4）指数式、对数式、根式的关系及相应各字母的名称. 记忆要诀 指数式进行的是乘方运算，由a、b求N；根式进行的是开方运算，由N、b求a；对数式进行的是对数运算，由a、N求b.（5）对数恒等式：=N；logaab=b.证明：ab=N，b=logaN.ab= =N，即=N.ab=N，b=logaN.b=logaN=logaab, 即logaab=b. 如=5，=6,log335=5,=等.要熟记对数恒等式的形式，会使用这一公式化简对数式. 要点提示 证明对数恒等式，一要注意指数与对数式的互化，二要紧扣对数的定义.（6）两个特殊的对数式：logaa=1；loga1=0.证明：a1=a，logaa=1.a0=1，loga1=0，即底的对数等于1，1的对数等于0.2.常用对数 当底数a=10时，对数logaN叫做常用对数，记作lgN.（1）常用对数是指底数为10的对数，它的形式可由log10N缩写为lgN，其中lgN默认它的底数为10.（2）会求常用对数的值.若真数易转化成以10为底的幂的形式，可直接求值.如lg10，lg100，lg0.001等，102=100，lg100=2.又10-3=0.001，lg0.001 =-3.一般情况下，可通过计算器或查对数表求值.如lg200 1，lg0.032，lg187.5等.使用计算器时，应先按上真数，然后再按log键，可直接求出对数值，即lg2 0013.301 2，lg0.032-1.494 9，lg187.52.273 0. 因为对数表只能查得1a10的对数，所以对于不在该范围内的数，使用对数表求值时，应先用科学记数法把真数表示成a10n（1a10，nZ)的形式，运用后面的对数性质化简后，再求值. 联想发散 要会使用科学记数法记数.当N10时，可把N写成a10n的形式，其中n比N的整数位数少1，如10 001=1.000 1104；当0N1时，可把N写成a10-n，其中n是从左边第一个不是0的数字算起前面所有0的个数，如0.001 02=1.0210-3.3.自然对数 在科学技术中，常常使用以无理数e=2.718 28为底的对数.以e为底的对数叫做自然对数.logeN通常记作lnN.自然对数与常用对数的关系： lnN2.302 6lgN.可直接使用计算器求自然对数值. 它的使用规则同常用对数一样，也是先按真数值，再按ln键，即可直接求出常用对数值.如ln343.526 4，也可查表，求自然对数的值. 要点提示 自然对数与常用对数是对数的两个特例，只有它们才既能查表，又能使用计算器求值.二、对数运算1积、商、幂的对数运算性质（1）logaMN=logaM+logaN， 两个正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和该法则可以推广到若干个正因数积的对数， 即loga（N1N2Nk）=logaN1+logaN2+logaNk.（2）loga=logaM-logaN. 两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数.（3）logaMn=nlogaM（nR）. 正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数 对数的运算法则既可正用，也可逆用，由积、商的运算法则可知，若逆用该公式，可把对数式转化成同底数的对数的和、差的形式 误区警示 使用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，只有各个对数式都存在时，等式才成立.例如：lg（-2）（-3）存在，但lg（-2），lg（-3）不存在，lg（-10）2存在，但lg（-10）不存在等.因此不能得出lg（-2）（-3）=lg（-2）+lg（-3），lg（-10）2=2lg（-10）.2.换底公式（1）换底公式：logab=（a0，a1，c0，c1，b0）.证明：设logab=c，则ac=b.两边取以c为底的对数，得clogca=logcb， 所以c=，即logab=. 换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简，凡是所求对数式的底数与题设中的对数底数不同的，都可考虑用换底公式求解，使用换底公式推论的前提是底数或真数能化成幂的形式.换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是 若M0，N0，M=N，则logaM=logaN.自然对数与常用对数的关系可以通过换底公式建立关系：lnN=2.302 6lgN.可把一般对数式转化成常用对数或自然对数，通过计算器或查表求值.换底公式可用于对数式的化简、求值或证明.（2）换底公式的三个推论： =logab，=logab，logablogba=1. 推广：logablogbclogcdlogea=1. 问题思路探究问题1 对数运算性质的实质是什么？思路：对数运算性质是指数运算性质的拓展引申，它们之间可以互相转化.探究:由于指数运算中遇到次数高的指数进行乘、除、乘方和开方时运算量太大，操作很繁，而对数运算恰恰将指数运算这些弱点克服，可以将乘、除、乘方和开方时运算转化为对数的加、减、乘的运算，从而降低了运算难度，加快了运算速度，简化了计算方法，有力地促进了涉及与高次数运算有关领域如天文、航海、工程、贸易及军事的发展.问题2 式子logaMn=nlogaM表明真数的指数可以直接拿到对数式前作系数，那请问：底数的指数也可以直接拿到对数式前作系数吗？若不能，有没有类似性质呢？怎么证明呢？思路：logaMn与nlogaM与loganM=logaM的结合使进行对数运算时更加简便快捷，同时也提醒我们在进行对数运算过程中，如果运算性质不能直接运用时，可以通过先化成指数式，变形后再化成对数式的方法达到计算的目的探究:一般不能，比如2=log416=log2216而，2log216=8log2216=2, 但有类似的性质，这个性质是 loganM=logaM. 证明如下：令logaM=x,则M=ax,所以=logaM=x， 而=x，所以=logaM.典题热题新题例1 (2020浙江高考,理)已知0a1，logamlogan0，则（ ）A.1nm B.1mn C.mn1 D.nm1思路解析：0a1,y=logax为减函数，由logamlogan0,可得1nm.答案：A例2 设log189=a，18b=5，求log3645.思路解析：本题是条件求值问题，解题的关键是把结论化成已知的形式，换底是显然的.解：18b=5，b=log185.log3645=. 深化升华 换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简.例3 计算：lg25+lg8+lg5lg20+lg22.思路解析：本题主要考查对数的运算性质.解：原式=lg25+lglg（102）+lg22=lg25+lg4+（lg10-lg2）（lg10+lg2）+lg22=lg100+lg210-lg22+lg22=2+1=3. 深化升华 对于对数的运算性质要熟练掌握，并能够灵活运用，在求值的过程中，要注意公式的正用和逆用.例4 设3x=4y=36，求的值.思路解析：本题主要考查对数的定义及运算性质.从所求的值来看，解题的关键是设法把x、y表示出来，再结合对数的运算性质就可以求出数值.解：3x=4y=36，x=log336，y=log436.则=log363，=log364.+=2log363+log364=log36（324）=1. 深化升华 指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但真数相等，式子两端取倒数之后，利用对数的换底公式可消除差异.例5 已知a、b、c均为正数，3a=4b=6c，求证：.思路解析：本题主要考查对数的定义及其运算性质.从求证的结论看，解题的关键是设法把a、b、c从连等号式中分离出来，为便于找出a，b，c的关系，不妨设3a=4b=6c=k（k0），则a、b、c就可用这一变量k表示出来，再结合对数的运算性质就可证得结论.证明：设3a=4b=6c=k，则k0.由对数的定义得a=log3k，b=log4k，c=log6k， 则左边=2logk3+logk4=logk9+logk4=logk36， 右边=2logk6=logk36，. 深化升华 证明恒等式常用的方法（1）作差比较法；（2）化简较为复杂的一边等于较简单的一边；（3）化简左、右两边，使它们等于同一式子；（4）先证明另一恒等式，再推出所要求证的恒等式.例6 设a、b同号，且a2+2ab-3b2=0，求log3（a2+ab+b2）-log3（a2-ab+b2）的值.思路解析：本题考查对数性质的应用.已知只告诉我们关于a、b的一个齐次方程，因此不可能求出a、b的值，只能求出a、b的关系式，从求证的结论看，由对数的运算性质可得真数也是一个齐次式，这样就