2020高考数学 课后作业 8-6 抛物线 新人教A版

2020高考数学人教A版课后作业1.动点P到直线xy40的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P的轨迹是()A直线B抛物线C椭圆 D双曲线答案A解析M(2,2)在直线xy40上，而|PM|即为P到直线xy40的距离动点P的轨迹为过点M垂直于直线xy40的直线故选A.2(文)(2020温州模拟)已知d为抛物线y2px2(p0)的焦点到准线的距离，则pd等于()A.p2 Bp2C. D. 答案D解析抛物线方程可化为x2y，d，则pd，故选D.(理)(2020湖南湘西联考)设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A4B6C8D12答案B解析抛物线y28x的焦点为F(2,0)，准线方程为x2.由已知得点P到准线的距离为6，所以点P到焦点的距离是6.3(文)(2020陕西文，2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()Ay28x By24xCy28x Dy24x答案C解析由抛物线准线方程为x2知p4，且开口向右，抛物线方程为y28x.故选C.(理)已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A2 B3C. D. 答案A解析直线l2：x1为抛物线y24x的准线，由抛物线的定义知，P到l1的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y24x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x3y60的距离，即dmin2，故选A.4(2020福建福州)若抛物线y24x的焦点是F，准线是l，则经过点F、M(4,4)且与l相切的圆共有()A0个 B1个C2个 D3个答案C解析经过F、M的圆的圆心在线段FM的垂直平分线上，设圆心为C，则|CF|CM|，又圆C与l相切，所以C到l距离等于|CF|，从而C在抛物线y24x上故圆心为FM的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆5(2020石家庄模拟)直线3x4y40与抛物线x24y和圆x2(y1)21从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为()A16 B.C4 D.答案B解析由得x23x40，xA1，xD4，yA，yD4，直线3x4y40恰过抛物线的焦点F(0,1)|AF|yA1，|DF|yD15，.故选B.6(2020茂名一模)直线yx3与抛物线y24x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为()A48 B56C64 D72答案A解析由题意不妨设A在第一象限，联立yx3和y24x可得A(9,6)，B(1，2)，而抛物线的准线方程是x1，所以|AP|10，|QB|2，|PQ|8，故S梯形APQB(|AP|QB|)|PQ|48，故选A.7(2020烟台检测)已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是_米答案4解析建立平面直角坐标系如图，设开始时水面与抛物线的一个交点为A，由题意可知A(4，2)，故可求得抛物线的方程为yx2，设水面上升后交点为B，则点B的纵坐标为，代入抛物线方程yx2可求出B点的横坐标为2，所以水面宽为4米8(文)(2020延边州质检)抛物线的焦点为椭圆1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为_答案y24x解析由c2945得F(，0)，抛物线方程为y24x.(理)若点(3,1)是抛物线y22px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p_.答案2解析设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则，两式相减得，2，y1y22，p2.1.(文)抛物线y28x上的点(x0，y0)到抛物线焦点的距离为3，则|y0|()A. B2C2 D4答案B解析设点A(x0，y0)，过点A作AA1l(l为准线)，则|AF|AA1|x023即x01，代入抛物线方程得|y0|2，故选B.(理)(2020福州市质检)已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A5 B8C.1 D.2答案C解析抛物线y24x的焦点为F(1,0)，圆x2(y4)21的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线距离为d，根据抛物线的定义有d|PF|，|PQ|d|PQ|PF|(|PC|1)|PF|CF|11.2(文)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A.若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()Ay24x By28xCy24x Dy28x答案B解析由抛物线方程知焦点F，直线l方程为y2，与y轴交点A.SOAF|OA|OF|4.a264，a8.故y28x.故选B.(理)(2020山东文，9)设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)答案C解析设圆的半径为r，因为F(0,2)是圆心，抛物线C的准线方程y2.圆与准线相切时半径为4.若圆与准线相交则r4.又因为点M(x0，y0)为抛物线x28y上一点，所以有x8y0.又点M(x0，y0)在圆x2(y2)2r2上所以x(y02)2r216，所以8y0(y02)216，即有y4y0120，解得y02或y02.故选C.3(2020山东济宁一模)已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的距离为5，双曲线y21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是()A. B.C. D.答案B解析根据抛物线定义可得，抛物线准线方程为x4，则抛物线方程为y216x.把M(1，m)代入y216x得m4，即M(1,4)在双曲线y21中，A(，0)，则kAM.解得a.4(文)(2020台州二检)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M、N两点，有下列四个命题：PMN必为直角三角形；PMN不一定为直角三角形；直线PM必与抛物线相切；直线PM不一定与抛物线相切其中正确的命题是()A BC D答案A解析因为|PF|MF|NF|，故FPMFMP，FPNFNP，从而可知MPN90，故正确，错误；令直线PM的方程为yx，代入抛物线方程可得y22pyp20，0，所以直线PM与抛物线相切，故正确，错误(理)(2020湖北文，4)将两个顶点在抛物线y22px(p0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则()An0 Bn1Cn2 Dn3答案C解析设抛物线上点A(，y1)，B(，y2)，且y1y2，焦点F(，0)，由|AF|BF|得(yy) ()0，y1y2，y1y2.A、B关于x轴对称过点F作直线y(x)，y(x)分别与抛物线有2个交点等边三角形有AFB和AFB，2个，故选C.5(文)已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y24x上运动，则取得最小值时的点P的坐标是_答案(0,0)解析设P，则，y2y288，当且仅当y0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)(理)(2020泰安质检)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程是_答案y23x解析解法1：过A、B作准线垂线，垂足分别为A1，B1，则|AA1|3，|BB1|BF|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，|AC|2|AA1|2|AF|6，|CF|3，p|CF|，抛物线方程为y23x.解法2：由抛物线定义，|BF|等于B到准线的距离，由|BC|2|BF|得BCM30，又|AF|3，从而A在抛物线上，代入抛物线方程y22px，解得p.6(文)(2020韶关月考)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L：y2相切(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQBQ.解析(1)解：依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L：y2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x28y.(2)证明：因为直线AB与x轴不垂直，设AB：ykx2.A(x1，y1)，B(x2，y2)由可得x28kx160，x1x28k，x1x216.抛物线方程为yx2，求导得yx.所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1x1，k2x2，k1k2x1x2x1x21.所以AQBQ.(理)若椭圆C1：1(0b0)的焦点在椭圆C1的顶点上(1)求抛物线C2的方程；(2)若过M(1,0)的直线l与抛物线C2交于E、F两点，又过E、F作抛物线C2的切线l1、l2，当l1l2时，求直线l的方程解析(1)已知椭圆的长半轴长为a2，半焦距c，由离心率e得，b21.椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，p2，抛物线的方程为x24y.(2)由题知直线l的斜率存在且不为零，则可设直线l的方程为yk(x1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，yx2，yx，切线l1，l2的斜率分别为x1，x2，当l1l2时，x1x21，即x1x24，由得：x24kx4k0，由(4k)24(4k)0，解得k0.又x1x24k4，得k1.直线l的方程为yx1.7(文)(2020福建文，18)如图，直线l：yxb与抛物线C：x24y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程解析(1)由得x24x4b0(*)直线l与抛物线相切(4)24(4b)0b1(2)由(1)知b1，方程(*)为x24x40解得x2，代入x24y中得，y1，A(2,1)圆A与抛物线准线y1相切r|1(1)|2.所以圆A的方程为(x2)2(y1)24.(理)(2020揭阳市模考)已知点C(1,0)，点A、B是O：x2y29上任意两个不同的点，且满足0，设P为弦AB的中点(1)求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由解析(1)法一：连结CP，由0知，ACBC，|CP|AP|BP|AB|，由垂径定理知|OP|2|AP|2|OA|2，即|OP|2|CP|29，设点P(x，y)，有(x2y2)(x1)2y29，化简得，x2xy24.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，根据题意知，xy9，xy9,2xx1x2,2yy1y2，4x2x2x1x2x，4y2y2y1y2y故4x24y2(xy)(2x1x22y1y2)(xy)182(x1x2y1y2) 又0，(1x1，y1)(1x2，y2)0(1x1)(1x2)y1y20，故x1x2y1y2(x1x2)12x1，代入式得，4x24y2182(2x1)，化简得，x2xy24.(2)根据抛物线的定义，到直线x1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y22px上，其中1，p2，故抛物线方程为y24x，由方程组得，x23x40，解得x11，x24，由于x0，故取x1，此时y2，故满足条件的点存在，其坐标为(1，2)和(1,2)1(2020黑龙江双鸭山质检)过抛物线yax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m、n，则等于()A. B.C2a D.答案B解析特例法取通径AB，则mn，故.2设双曲线1(a0，b0)的渐近线与抛物线yx21相切，则该双曲线的离心率等于()A. B2C. D.答案C解析双曲线的渐近线方程为yx，与抛物线方程联立得x2x10，240b24a2，c2a24a2，c25a2，e，故选C.3已知抛物线y24x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且|NF|MN|，则NMF()A. B.C. D.答案A解析如图，