2020高三数学高考《立体几何初步》专题学案：空间距离

第9课时 空间距离基础过关1点与点的距离：两点间 的长2点与线的距离：点到直线的 的长3平行线间的距离：从两条平行线中一条上 一点向另一条引垂线，这点到 之间的线段长4点与面的距离：点到平面的 的长5平行于平面的直线与平面的距离：直线上 一点到平面的 的长6两个平行平面间的距离：从其中一个平面上 一点向另一个平面引垂线，这点到 之间的线段长7两条异面直线的距离：与两条异面直线都 的直线夹在两 间线段的长典型例题例1. 已知正六边形ABCDEF的边长为a，PA平面AC，PAa求： P到直线BC的距离； P到直线CD的距离答案：(1) (2) 2a变式训练1： 已知平面外不共线的三点A、B、C到的距离相ACBDl等求证：存在ABC的一条中位线平行或在内提示：分A、B、C在的同侧与异侧讨论例2如图， 直线l上有两定点A、B， 线段ACl，BDl，ACBDa，且AC与BD成120角，求AB与CD间的距离解：在面ABC内过B作BEl于B，且BEAC，则ABEC为矩形ABCE，AB平面CDE则AB与CD的距离即为B到DE的距离过B作BFDE于F，易求得BF，AB与CD的距离为ANMBODC变式训练2：ABCD是边长为a的正方形，M、N分别为DA、BC边上的点，且MNAB交AC于O点，沿MN折成直二面角 求证：不论MN怎样平行移动(ABMN)，AOC的大小不变； 当MN在怎样的位置时，点M到平面ACD的距离最大？并求出这个最大值解(1) 120；(2) 当且仅当MAMD时，点M到平面ACD的距离最大，最大值为a设MDx，M到AD的距离h即是M到平面ACD的距离：ha(当x时两不等式同取等号)AEBCGDF例3. 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，GC2，求点B到平面EFG的距离解：连结AC、BD、ACBD0，E、F分别是AB、AD的中点，EFBD，B到平面EFG的距离即0到平面EFG的距离，ACEFK，连结KG，EFKC，EF平面KGC，过O作OHKG于H，则OH平面EFG，OH即为O到平面EFG的距离，KCAC3，KG，OKAC，由RtOHKRtCKG得OH变式训练3：正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，、F分别是BB1、CD的中点.BCD1C1D1B1EF 求证：ADD1F； 求证：AE与D1F所成的角； 求点F到平面A1D1E的距离答案：(1) 略 (2) 90 (3)将F移至AB中点研究FCDEGBA北南303030例4在正北方向的一条公路上，一辆汽车由南向北行驶，速度为100千米/小时，一架飞机在一定高度上的一条直线上飞行，速度为100千米/小时，从汽车里看飞机，在某个时刻看见飞机在正西方向，仰角为30，在36秒后，又看见飞机在北偏西30、仰角为30处，求飞机飞行的高度.解：如图A、C分别是汽车、飞机开始时的位置，B、D分别是经过36秒后的位置，ABEF是水平面，CFED是矩形，且CD100(千米)，AB1001千米，CF(或DE)则为飞机的飞行高度，设其为x千米，在RtCFA中，AFx；在RtDEB中，BEx. 作EGAB于G，EHAF于H，则EGAHx，EHAG1，FHx. 在RtFHE中，EF2FH2EH2，即()2(x) 2(1)2， x1. 故飞机飞行的高度为1千米变式训练4：如图，四面体ABCD中，ABC与DBC都是边长为4的正三角形（1）若点D到平面ABC的距离不小于3，求二面角ABCD的取值范围；（2）当二面角ABCD的平面角为时，求点C到平面ABD的距离ABDC解(1)(提示：D到平面ABC的距离d3， )(2)取BC中点E，连结EA、ED，则AEDADAE又，设C到平面ABD的距离为h则小结归纳1对于空间距离的重点是点到直线、点到平面的距离，对于两异面直线的距离一般只要求会求给出公垂线段时的距离2、求点到平面的距离的方法： 确定点在平面射影的位置，要注意利用面面垂直求作线面垂直及某些特殊性质 转化法即化归为相关点到平面的距离或转化为线面距