2020年高考数学理科一轮复习 精品讲义 16.1 命题及其关系、充分条件与必要条件 新人教A版

第十六章 常用逻辑用语命题及其关系,充分条件与必要条件知识网络常用逻辑用语简易逻辑逻辑联结词简单命题与复合命题命题的四种形式及其关系充要条件全称量词与存在量词第1讲 命题及其关系,充分条件与必要条件 知 识 梳理 1用语言、符号或式子表达的，可以判断真假、的陈述句称为命题 其中判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题2（1）如果第一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论_和条件_，那么这两个命题叫互逆命题. （2）如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定 和结论的否定，那么这两个命题叫互否命题. （3）如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定_ 和_条件的否定_，那么这两个命题叫互否命题. 3一般地，把条件的否定和结论的否定，分别记为“”和“”，则命题的四种形式可写为： 原命题： “若若” 逆命题： “若若” 否命题： “若 是 ”逆否命题： “若 是 ”特别提醒：可以发现：（1）原命题、逆命题、否命题、逆否命题的关系如下图所示：原命题若p则q逆命题若q则p否命题若非p则非q逆否命题若非q则非p 互逆 互 互 互 为 为 互 否 逆 逆 否否 否 互逆 （2）互为逆否命题的真假性是一致的, 互逆命题或互否命题真假性没有关系.4. 用反证法证明的一般步骤是： (1) 反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2) 归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3) 结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.特别提醒：1、适宜用反证法证明的数学命题：(1) 结论本身以否定形式出现的命题.(2)关于唯一性、存在性的的命题.(3)结论以“至多”，“至少”等形式出现的命题.(4)结论的反面比原结论更具体或更易于研究的命题.2. 用反证法证明引出矛盾的四种常见形式: (1)与定义、公理、定理矛盾. (2)与已知条件矛盾.(3)与假设矛盾.(4)自相矛盾.5 如果“若则”为真, 记为, 如果“若则”为假, 记为.6若则是的充分, 是的必要_ 7判断方法： （1）定义法： p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件（2）集合法： 设P=p, Q=q,若_ PQ, 则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件. 若_ P=Q _，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）. 若_ P Q且Q P _， 则p是q的既不充分也不必要条件. （3） 逆否命题法：q 是p的充分条件不必要条件p是q的_充分条件不必要条件_q 是p的必要条件不充分条件p是q的_充分条件不必要条件q 是p的充分要条件p是q的_充要条件_q 是p的既不充分条件与不必要条件p是q的_既不充分条件与不必要条件_特别提醒：1、解决充要条件的逆向问题时, 往往从集合角度考虑, 会更文便快捷, 设P=p, Q=q, 若p是q的充分不必要条件，则PQ 若q是p的必要不充分条件，则PQ 若P=Q ，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）. 若P Q且Q P， 则p是q的既不充分也不必要条件. 2、 证明p是q的充要条件，既要证“”，又要证“”，前者证明的是充分性；，后者证明的必要性. 重 难 点 突 破 1.重点：初步掌握四种命题的关系，并能判断四种命题的真假；初步掌握利用反证法证明一些问题；正确理解三个概念，并在分析中正确判断.正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能用定义法、集合法和逆否命题法来判断命题是命题的什么条件.2.难点：利用反证法证题；充要条件的证明.3.重难点：.(1) 与命题相关的判析问题1：下列语句中哪些是命题？其中哪些是真命题？“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”；“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”；“一个数不是正数就是负数”；“珠海是一个多么美丽的海滨城市啊！”；“为有理数，则、也都是有理数”； “作”.解：根据命题的概念，判断是否为命题，若是，再判断真假. 通过反问句，对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真命题. 疑问句，没有垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断, 不是命题； 是假命题, 数0既不是正数也不是负数. 感叹句, 不是命题. 是假命题, 如. 祈使句, 不是命题. 命题有: ；真命题有: 点拨: 判断一个语句是否是命题, 关键在于能否判断其真假. 一般地, 陈述句、反问句都是命题，而疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.问题2：你能将把下列命题写成“若若”的形式，并判断其真假吗?(1) 实数的平方是非负数. (2) 等底等高的两个三角形是全等三角形.(3) 能被6整除的数既能被3整除也能被2整除.(4) 弦的垂直平分线经过圆心, 并平分弦所对的弧.解：(1) 若一个实数, 则它的平方是非负数. 这个命题是真命题. (2) 若两个三角形等底等高, 则这个三角形是全等三角形. 这个命题是假命题. (3) 若一个数能被6整除的数, 则它既能被3整除也能被2整除. (4) 若一条直线是弦的垂直平分线, 则它经过圆心并平分弦所对的弧.点拨:将命题写成“若若”形式时, 一定要注意找出命题的条件和结论, 同时要注出意叙述条件和结论完整性.（2）能掌握判断充要条件的三种基本方法，并能根据具体问题选择使用,.问题3: 下列四个命题中真命题有哪几个?“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题 “面积相等的三角形全等”的否命题 “若m1，则方程x22x+m=0有实根”的逆否命题 “若AB=B，则AB”的逆否命题解析: 的逆命题为“若x、y互为倒数, 则xy=1”, 是真命题;的否命题为“面积不相等的三角形不全等”, 是真命题;“若m1, 则x2-2x+m=0有实根”为真命题, 因此其逆否命题也为真命题;“若AB=B, 则AB”为假命题, 则其逆否命题也为假命题.真命题有点拨: 在判断原命题及其逆命题、否命题、逆否命题的真假时，可以借助原命题与逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假.问题4你能判断下列命题的真假吗?（1）已知若（2）若无实数根。解： 因为“已知若”的逆否命题是：“已知若”我们不难举反例说明其逆否命题不正确，从而原命题是假命题。(2) 因为“若无实数根”的逆否命题是：“若方程有实数根，”当方程有实数根时，成立。故其逆否命题正确，从而原命题是真命题；点拨:利用互为逆否的两个命题同真同假的关系，将不易判断真假的命题，转化为判断其逆否命题的真假（尤其是对否定式语句的命题）充分利用等价转化的思想方法。 热 点 考 点 题 型 探 析考点一：命题及其相互关系题型1. 判断命题及真假例1 陈述句“在2020年，法国巴黎将举办第31届夏季奥林匹克运动会”是命题吗？ 解题思路：判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”解析：是命题，在2020年，法国巴黎将举办第31届夏季奥林匹克运动会，是真是假，虽然目前还无法确定，但是随着时间推移，总能确定它的真假，所以我们把这类猜想仍算为命题.例2 广东省深圳外国语学校2020届高三上学期第二次统测）下列四个命题中，真命题的个数为（ ）A（1）若两平面有三个公共点，则这两个平面重合；（2）两条直线可以确定一个平面；（3）若；（4）空间中，相交与同一点的三条直线在同一平面内。A.1 B.2 C.3 D.4解题思路：根据命题本身涉及的知识去判断真假，判断一个命题为真，一般要进行严格的逻辑推理，但判断一个命题为假，只要举出一个反例即可.解析：（1）是假命题，两平面也可能相交；（2）是假命题，若两直线是异面直线，不可能确定一个平面；（4）是假命题，两相交直线确定一个平面，第三条直线过该交点，可与该平面相交。【名师指引】判断一个语句是否是命题, 关键在于能否判断其真假. 【新题导练】1下列命题中是假命题的是（ ）（A）矩形的对角线相等（B）若是奇数，则是奇数（C）（D）若，则答案: C2（广东省华南师范附属中学2020届高三综合测试）以下命题： 二直线平行的充要条件是它们的斜率相等； 过圆上的点与圆相切的直线方程是； 平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆； 抛物线上任意一点到焦点的距离都等于点到其准线的距离。其中正确命题的标号是 。答案；题型2。写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题例3 写出下述命题逆命题、否命题、逆否命题.（1）若，则全为0 .（2）若是偶数，则都是偶数.（3）若，则解题思路：“都”的否定词是“不都”，而不是“都不”，同理“全”的否定词是“不全”，而不是“全不”. 另外，原命题中的“或”，在否命题中要改为“且”. 要认真体会它们的区别.解析: 因为原命题是“若若”的形式, 根据其他三种命题的构造方法, 分别写出逆命题、否命题、逆否命题.解答：（1）逆命题：若全为0，则.否命题：若，则不全为0 .逆否命题：若不全为0，则.（2）逆命题：若都是偶数，则是偶数.否命题：若不是偶数，则不都是偶数.逆否命题：若不都是偶数，则不是偶数.（3）逆命题：若，则.否命题：若，则逆否命题：若，则.【名师指引】认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题，最后判断真假【新题导练】3. （广东省湛江市实验中学2020届高三第四次月考（数学理）命题“若0，则”的逆命题是 答案： 逆命题是“若”4（2020年广东省广州市高三年级调研测试）命题“”的否命题是 （ ） A. B. C. D. 答案： C题型3。四种命题间的关系与反证法例4若a、b、cR，写出命题“若ac0，则ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假解题思路：认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题，最后判断真假解析：逆命题：若ax2+bx+c=0（a、b、cR）有两个不相等的实数根，则ac0；是假命题，如当a=1，b=3，c=2时，方程x23x+2=0有两个不等实根x1=1，x2=2，但ac=20否命题：若ac0，则方程ax2+bx+c=0（a、b、cR）没有两个不相等的实数根；是假命题. 这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题逆否命题：若ax2+bx+c=0（a、b、cR）没有两个不相等的实数根，则ac0；是真命题. 因为原命题是真命题，它与原命题等价例5 用反证法证明：设三个正实数a、b、c满足条件=2求证：a、b、c中至少有两上不小于1.解题思路：用反证法证题时作出正确的反设是前提，“a, b, c中至多有一个数不小于1”的反设为“a, b, c中至多有一个数不小于1”，有两种情况“a、b、c三数均小于1”和“a、b、c中有两数小于1”；而推出矛盾是关键，也是难点.解析：证明：假设a, b, c中至多有一个数不小于1，这包含下面两种情况：（1）a、b、c三数均小于1，即0a1 , 0b1, 0c3与已知条件矛盾；（2）a、b、c中有两数小于1，设0a1, 0b2+2，也与已知条件矛盾；假设不成立，a、b、c中至少有两个不小于1.【名师指引】利用互为逆否的两个命题同真同假的关系，将不易判断真假的命题，转化为判断其逆否命题的真假（尤其是对否定式语句的命题），充分利用等价转化的思想方法。正确的反设是（即否定结论）是正确运用反证法的前提，要注意一些常用的“结论否定形式”，另外，需注意作出的反设必须包括与结论相反的所有情况。【新题导练】5（广东省汕头市澄海区2020年统测）命题：“设、，若则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ）A0 B1 C2 D3答案：C6（广东省普宁市城东中学2020届高三上学期第三次月考）命题：“若，则”的逆否命题是（ ）A若，则 B.若，则C.若，则 D. .若，则答案：A7若x、y、z均为实数，且a=x22y+，b=y22z+，c=z22x+，则a、b、c中是否至少有一个大于零？请说明理由.分析：“a、b、c中是否至少有一个大于零”包括多种情况，正面解决很复杂，可考虑反面入手，利用反证法证明，但如何导出矛盾颇有技巧.解：假设a、b、c都不大于0，即a0，b0，c0，则a+b+c0.而a+b+c=x22y+y22z+z22x+=（x1）2+（y1）2+（z1）2+3，30，且无论x、y、z为何实数，（x1）2+（y1）2+（z1）20，a+b+c0.这与a+b+c0矛盾.因此，a、b、c中至少有一个大于0.考点二: 充要条件及其判定题型1:利用定义作判断例6 （2020学年中山市一中高三年级统测试题）在中，“”是“”的 A充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解题思路：判定p是q的充要条件，既要看“”是否为真，又要看“”否为真, 只有都为真时, p才是q的充要条件.解析：A “” “”但反之不成立，故选A 【名师指引】定义判断的重要依据。【新题导练】8（2020届省实高三次月考数学试题）函数有极值的充要条件是 （ ）A B C D答案：D9“” 是“函数在区间上为增函数”的 （ ） A充分条件不必要 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案：A题型2: 从集合思想或利用逆否命题判定例7 （广东省四会中学2020届高三上学期第一次质量检测）“成立”是“成立”的( ) A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解题思路：当直接判断p是q什么条件较困难时, 可借助于集合或利用逆否命题来考虑 , 会更快捷和准确.解析：的解集是，的解集是AB 选A 例8（广东省普宁市城东中学2020届高三上学期第三次月考）若，则成立的一个充分不必要的条件是（ ）A.B. C. D. 解题思路： 以选项为条件，要能得