2020届高三数学一轮复习 第九章《立体几何》9-4精品练习

第9章 第4节一、选择题1(文)(09福建)设m，n是平面内的两条不同直线；l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是()Am且l1Bml1且nl2Cm且n Dm且nl2答案B解析如图(1)，l，ml，l1l，满足m且l1，故排除A；如图(2)，l，mnl，满足m，n，故排除C.在图(2)中，mnll2满足m，nl2，故排除D，故选B.点评l1与l2相交，ml1，nl2，m与n相交，由面面平行的判定定理可知；但当m、n，l1，l2，l1与l2相交，时，如图(3)，得不出ml1且nl2.(理)设a，b是两条直线，是两个平面，则ab的一个充分条件是()Aa，b，Ba，b，Ca，b， Da，b，答案C解析对于A，如图正方体、分别为平面ABCD与平面ADD1A1，a、b分别为直线B1B和C1C.a与b也可能平行，对于B，a，a，又b，ab，对于D，a与b也可能平行，故选C.2(2020郑州检测)已知，是三个不同的平面，命题“，且”是真命题如果把，中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有()A0个B1个C2个D3个答案C解析依题意得，命题“ab，且ab”是真命题(由“若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”可知)；命题“a，且acc”是假命题(直线c可能位于平面内，此时结论不成立)；命题“b，且cbc”是真命题(因为b，因此在平面内必存在直线b1b；又c，因此cb1，cb)综上所述，其中真命题共有2个，选C.3(2020东北三校模拟)正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别为A1B1，CD，B1C1的中点，则下列命题正确的是()AAM与PC是异面直线BAMPCCAM平面BC1ND四边形AMC1N为正方形答案C解析连接MP，AC，A1C1，AM，C1N，由题易知MPA1C1AC，且MPAC，所以AM与PC是相交直线，假设AMPC，BC平面ABB1A1，BCAM，AM平面BCC1B1，又AB平面BCC1B1矛盾，AM与PC不垂直因为AMC1N，C1N平面BC1N，所以AM平面BC1N.又易得四边形AMC1N为菱形而不是正方形，故选C.4(文)对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面，使得()Aa，b Ba，bCa，b Da，b答案B解析a、b异面时，A错，C错；若D正确，则必有ab，故排除A、C、D，选B.(理)设a、b为两条直线，、为两个平面下列四个命题中，正确的命题是()A若a、b与所成的角相等，则abB若a，b，则abC若a，b，ab，则D若a，b，则ab答案D解析若直线a、b与成等角，则a、b平行、相交或异面；对选项B，如a，b，则a、b平行、相交或异面；对选项C，若a，b，ab，则、平行或相交；对选项D，由a或a，无论哪种情形，由b都有ba.，故选D.5一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：ABEFAB与CM成60EF与MN是异面直线MNCD其中正确的是()ABCD答案D解析本题考查学生的空间想象能力，将其还原成正方体如图所示，ABEF，EF与MN是异面直线，ABCM，MNCD.只有正确，故选D.6(文)(2020山东潍坊)已知m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A若，则B若mn，m，n，则C若mn，m，则nD若mn，m，n，则答案D解析对于选项A，两平面、同垂直于平面，平面与平面可能平行，也可能相交；对于选项B，平面、可能平行，也可能相交；对于选项C，直线n可能与平面平行，也可能在平面内；对于选项D，mn，m，n，又n，故选D.(理)(2020曲师大附中)已知两个不同的平面，和两条不重合的直线a，b，则下列四个命题中为真命题的是()A若ab，b，则aB若，b，ab，则aC若a，b，a，b，则D若，a，a，a，则a答案D解析选项A中，直线a可能在平面内；选项B中，直线a可能在平面内；选项C中，直线a，b为相交直线时命题才成立7(2020江苏南通)在正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q分别是棱AA1、CC1的中点，则过点B、P、Q的截面是()A邻边不等的平行四边形B菱形但不是正方形C邻边不等的矩形D正方形答案B解析设正方体棱长为1，连结D1P，D1Q，则易得PBPQD1PD1Q，取D1D的中点M，则D1P綊AM綊BQ，故截面为四边形PBQD1，它是一个菱形，又PQAC，PBQ不是直角，故选B.8(文)(2020山东日照、聊城模考)已知直线l、m，平面、，且l，m，给出下列四个命题：若，则lm；若lm，则；若，则lm；若lm，则；其中真命题是()A B C D答案C解析点评如图，m，则lm，故(2)假；在上述图形中，当时，知假(理)(2020福建福州市)对于平面和共面的直线m，n，下列命题是真命题的是()A若m，n与所成的角相等，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，n，则mn答案D解析正三棱锥PABC的侧棱PA、PB与底面成角相等，但PA与PB相交应排除A；若m，n，则m与n平行、相交或异面，应排除B；若m，mn，则n或n，应排除C.m、n共面，设经过m、n的平面为，m，m，n，nm，故D正确9(文)(2020北京顺义一中月考)已知l是直线，、是两个不同平面，下列命题中的真命题是()A若l，l，则B若，l，则lC若l，l，则D若l，则l答案C解析如图在正方体ABCDA1B1C1D1中，取平面ABD1A1为，平面ABCD为，B1C1为l，则排除A、B；又取平面ADD1A1为，平面BCC1B1为，B1C1为l，排除D.(理)(2020广东罗湖区调研)已知相异直线a，b和不重合平面，则ab的一个充分条件是()Aa，b Ba，b，Ca，b， D，a，b答案C解析a，b时，a与b可相交可异面也可平行，故A错；a，b，时，a与b可异面，故B错；由，a得，a或a，又b，此时a与b可平行也可异面，排除D.10(2020日照实验高中)如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，AB1，M，N分别在AD1，BC上移动，且始终保持MN平面DCC1D1，设BNx，MNy，则函数yf(x)的图象大致是()答案C解析过M作MEAD于E，连接EN，则平面MEN平面DCC1D1，所以BNAEx(0x1)，ME2x，MN2ME2EN2，则y24x21，y24x21(0x0)，图象应是焦点在y轴上的双曲线的一部分故选C.二、填空题11(文)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件_时，有MN平面B1BDD1.答案M线段FH解析因为HNBD，HFDD1，所以平面NHF平面B1BDD1，又平面NHF平面EFGHFH.故线段FH上任意点M与N相连，有MN平面B1BDD1，故填M线段FH.(理)(2020南充市模拟)已知两异面直线a，b所成的角为，直线l分别与a，b所成的角都是，则的取值范围是_答案，12在四面体ABCD中，M、N分别是ACD、BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_答案面ABC和面ABD解析连结AM并延长交CD于点E，M为ACD的重心，E为CD的中点，又N为BCD的重心，B、N、E三点共线，由得MNAB，因此MN平面ABC，MN平面ABD.13如图是一正方体的表面展开图，B、N、Q都是所在棱的中点，则在原正方体中，AB与CD相交；MNPQ；ABPE；MN与CD异面；MN平面PQC.其中真命题的序号是_答案解析将正方体还原后如图，则N与B重合，A与C重合，E与D重合，、为真命题14如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP，过B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ_.答案a解析B1D1平面ABCD，平面B1D1P平面ABCDPQ，B1D1PQ，又B1D1BD，BDPQ，设PQABM，ABCD，APMDPQ，2，即PQ2PM，又APMADP，PMBD，又BDa，PQa.三、解答题15(文)(2020南京调研)如图，在四棱锥EABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BEEC，AEBE，M为CE上一点，且BM平面ACE.(1)求证：AEBC；(2)如果点N为线段AB的中点，求证：MN平面ADE.解析(1)因为BM平面ACE，AE平面ACE，所以BMAE.因为AEBE，且BEBMB，BE、BM平面EBC，所以AE平面EBC.因为BC平面EBC，所以AEBC.(2)解法1：取DE中点H，连接MH、AH.因为BM平面ACE，EC平面ACE，所以BMEC.因为BEBC，所以M为CE的中点所以MH为EDC的中位线，所以MH綊DC.因为四边形ABCD为平行四边形，所以DC綊AB.故MH綊AB.因为N为AB的中点，所以MH綊AN.所以四边形ANMH为平行四边形，所以MNAH.因为MN平面ADE，AH平面ADE，所以MN平面ADE.解法2：取EB的中点F，连接MF、NF.因为BM平面ACE，EC平面ACE，所以BMEC.因为BEBC，所以M为CE的中点，所以MFBC.因为N为AB的中点，所以NFAE，因为四边形ABCD为平行四边形，所以ADBC.所以MFAD.因为NF、MF平面ADE，AD、AE平面ADE，所以NF平面ADE，MF平面ADE.因为MFNFF，MF、NF平面MNF，所以平面MNF平面ADE.因为MN平面MNF，所以MN平面ADE.(理)(2020厦门市质检)如图所示的几何体中，ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AEAB2，CD1，F为BE的中点(1)若点G在AB上，试确定G点位置，使FG平面ADE，并加以证明；(2)在(1)的条件下，求三棱锥DABF的体积解析(1)当G是AB的中点时，GF平面ADE.G是AB的中点，F是BE的中点，GFAE，又GF平面ADE，AE平面ADE，GF平面ADE.(2)连接CG，由(1)可知：GFAE，且GFAE.又AE平面ABC，CD平面ABC，CDAE，又CDAE，GFCD，GFCD，四边形CDFG为平行四边形，DFCG，且DFCG.又AE平面ABC，CG平面ABC，AECG.ABC为正三角形，G为AB的中点，CGAB，又ABAEA，CG平面ABE.又CGDF，且CGDF，DF为三棱锥DABF的高，且DF.又AE平面ABC，AB平面ABC，AEAB.在RtABE中，ABAE2，F为BE的中点，SABFSABE221.VDABFSABFDF1，三棱锥DABF的体积为.16(文)(2020安徽合肥质检)如图，PO平面ABCD，点O在AB上，EAPO，四边形ABCD为直角梯形，BCAB，BCCDBOPO，EAAOCD.(1)求证：BC平面ABPE；(2)直线PE上是否存在点M，使DM平面PBC，若存在，求出点M；若不存在，说明理由解析(1)PO平面ABCD，BC平面ABCD，BCPO，又BCAB，ABPOO，AB平面ABP，PO平面ABP，BC平面ABP，又EAPO，AO平面ABP，EA平面ABP，BC平面ABPE.(2)点E即为所求的点，即点M与点E重合取PO的中点N，连结EN并延长交PB于F，EA1，PO2，NO1，又EA与PO都与平面ABCD垂直，EFAB，F为PB的中点，NFOB1，EF2，又CD2，EFABCD，四边形DCFE为平行四边形，DECF，CF平面PBC，DE平面PBC，DE平面PBC.当M与E重合时即可(理)在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面正方形的中心，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCDA1C1D1及其三视图(1)求证：D1O平面A1BC1；(2)是否存在过点A1与直线DC1垂直的平面A1PQ，与线段BC1交于点P，与线段CC1交于点Q？若存在，求出线段PQ的长；若不存在，请说明理由分析要证D1O平面A1BC1，O为DB的中点，取A1C1中点E，只须证D1E綊OB，或利用长方体为正四棱柱的特性，证明平面ACD1平面A1C1B，假设存在平面A1PQDC1，利用正四棱柱中，BC平面DCC1D1，故有BCDC1，从而平面A1PQ与平面BCC1的交线PQDC1，故只须在面DCC1D1的边CC1上寻找点Q，使D1QDC1即可解析(1)连接AC，AD1，D1C，易知点O在AC上根据长方体的性质得四边形ABC1D1、四边形A1D1CB均为平行四边形，AD1BC1，A1BD1C，又AD1平面A1C1B，BC1平面A1C1B，AD1平面A1C1B，同理D1C平面A1BC1，又D1CAD1D1，根据面面平行的判定定理知平面ACD1平面A1BC1.D1O平面ACD1，D1O平面A1BC1.(2)假设存在过点A1与直线DC1垂直的平面A1PQ，与线段BC1交于点P，与线段CC1交于点Q.连接C1D，过点D1作C1D的垂线交C1C于点Q，过点Q作PQBC交BC1于点P，连接A1P，A1Q.C1DD1Q，C1DA1D1，D1QA1D1D1，C1D平面A1D1Q.A1Q平面A1D1Q，C1DA1Q.PQBCA1D1，C1DPQ，A1QPQQ，C1D平面A1PQ.存在过点A1与直线DC1垂直的平面A1PQ，与线段BC1交于点P，与线段CC1交于点Q.在矩形CDD1C1中，RtD1C1QRtC1CD，结合三视图得，C1Q1.PQBC，PQBC.17(文)(2020东北师大附中)如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点(1)求证：EF平面ABC1D1；(2)求证：EFB1C；(3)求三棱锥B1EFC的体积解析(1)证明：连结BD1，在DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则EFD1B，又EF平面ABC1D1