历年高考数学真题考点归纳 2020年 第七章 不等式

第一节第一节 简单不等式及其解法简单不等式及其解法 一、选择题 1.（2020 安徽卷理）下列选项中，p 是 q 的必要不充分条件的是 A.p:acb+d , q:ab 且 cd B.p:a1,b1 q:( )(01) x f xab aa，且的图像不过第二象限 C.p: x=1, q: 2 xx D.p:a1, q: ( )log(01) a f xx aa，且在(0,)上为增函数 答案 A 解析 由ab 且 cdacb+d，而由acb+d ab 且 cd，可举反例。选 A。 2.（2020 安徽卷文） “”是“且”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 易得abcd 且 且时必有acbd .若acbd 时，则可能有adcb 且 且，选 A。 3.（2020 四川卷文）已知a，b，c，d为实数，且cd.则“ab”是“acb d”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 显然，充分性不成立.又，若acbd和cd都成立，则同向不等式相加得 ab 即由“acbd”“ab” 4.（2020 天津卷理）ab 10,若关于 x 的不等式 2 ()xb 2 ()ax的解集中的整数恰有 3 个，则 A.01 a B.10 a C.31 a D.63 a 答案 C 5.（2020 四川卷理）已知, , ,a b c d为实数，且cd。则“ab”是“acbd”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。 （同文 7） 答案 B 解析 ba 推不出acbd；但bdcbadbca ，故选择 B。 解析 2：令2,1,3,5abcd ，则13( 5)8acbd ；由 acbd可得，()abcd因为cd，则0cd，所以ab。故“ab” 是“acbd”的必要而不充分条件。 6.（2020 重庆卷理）不等式 2 313xxaa对任意实数x恒成立，则实数a的取值 范围为（ ） A(, 14,) B(, 25,) C1,2 D(,12,) 答案 A 解析 因为 2 4314313xxxxaa 对对任意 x 恒成立，所以 22 343041aaaaaa 即，解得或 二、填空题 7.（2020 年上海卷理）若行列式 4 1 7 5 x x 3 8 9 中，元素 4 的代数余子式大于 0， 则 x 满足的条件是_ . 答案 8 3 x 解析 依题意，得： (-1)2(9x-24)0，解得： 8 3 x 三、解答题 8.（2020 江苏卷）(本小题满分 16 分) 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单 价为m元，则他的满意度为 m ma ；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度 为 n na .如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 1 h和 2 h，则他对这两种交 易的综合满意度为 1 2 hh. 现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、B 两种产品的 单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、B 的单价分别为 A m元和 B m元，甲买进 A 与 卖出 B 的综合满意度为h且，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为h且 (1)求h且和h且关于 A m、 B m的表达式；当 3 5 AB mm时，求证：h且=h且； (2)设 3 5 AB mm，当 A m、 B m分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最 大的综合满意度为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为 0 h，试问能否适当选取 A m、 B m的值，使得 0 hh 且 和 0 hh 且 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 解析 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽 象概括能力以及数学阅读能力。满分 16 分。 (1) 当 3 5 AB mm时， 2 3 5 3 5(20)(5) 12 5 B BB BBB B m mm h mmm m 甲 , 2 3 5 3 20(5)(20) 3 5 B BB BBB B m mm h mmm m 乙 , h且=h且 （2）当 3 5 AB mm时， 2 2 11 =, 20511 (20)(5) (1)(1)100()251 B BB BBBB m h mm mmmm 甲 由 111 5,20, 20 5 B B m m 得， 故当 11 20 B m 即20,12 BA mm时， 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 10 5 。 （3） （方法一）由（2）知： 0 h= 10 5 由 0 10 = 1255 AB AB mm hh mm 甲 得： 1255 2 AB AB mm mm ， 令 35 , AB xy mm 则 1 ,1 4 xy、，即： 5 (14 )(1) 2 xy。 同理，由 0 10 5 hh 乙 得： 5 (1)(14 ) 2 xy 另一方面， 1 ,1 4 xy、141xx 5 、1+4y 2, 5 ,、1+y , 2 , 2 55 (1 4 )(1),(1)(1 4 ), 22 xyxy当且仅当 1 4 xy，即 A m= B m时，取等号。 所以不能否适当选取 A m、 B m的值，使得 0 hh 且 和 0 hh 且 同时成立，但等号不同时成 立。 第二节第二节 基本不等式基本不等式 一、选择题 1.（2020 天津卷理）设0,0.ab若 11 333 ab ab 是与的等比中项，则的最小值为 A . 8 B . 4 C. 1 D. 1 4 考点定位 本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了 变通能力。 答案 C 解析 因为333 ba ，所以1 ba， 4222) 11 )( 11 b a a b b a a b ba ba ba ，当且仅当 b a a b 即 2 1 ba时“=”成立，故选择 C 2.（2020 重庆卷文）已知0,0ab，则 11 2 ab ab 的最小值是（ ） A2B2 2C4D5 答案 C 解析 因为 1111 2222()4ababab ababab 当且仅当 11 ab ，且 ，即ab时，取“=”号。 二、填空题 3.（2020 湖南卷文）若0 x ，则 2 x x 的最小值为 . 答案 222 解析 0 x 2 2 2x x ，当且仅当 2 2xx x 时取等号. 三、解答题 4.（2020 湖北卷文） （本小题满分 12 分） 围建一个面积为 360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修） ， 其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口，如图所示， 已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位： 元)。 （）将 y 表示为 x 的函数： （）试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。 解：（1）如图，设矩形的另一边长为 a m 则 2 y-45x-180(x-2)+1802a=225x+360a-360 由已知 xa=360,得 a= x 360 , 所以 y=225x+)0(360 3602 x x (II)108003602252 360 225, 0 2 2 x xx 10440360 360 225 2 x xy.当且仅当 225x= x 2 360 时，等号成立. 即当 x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元. 第三节第三节 不等式组与简单的线性规划不等式组与简单的线性规划 一、选择题 1. (2020 山东卷理)设 x，y 满足约束条件 0, 0 02 063 yx yx yx ， 若目标函数 z=ax+by（a0，b0）的是最大值为 12， 则 23 ab 的最小值为( ). A. 6 25 B. 3 8 C. 3 11 D. 4 答案 A 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z（a0，b0） 过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（4,6）时, 目标函数 z=ax+by（a0，b0）取得最大 12, x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而 23 ab = 23 23131325 ()()2 6666 abba abab ,故选 A. 【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能 准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知 2a+3b=6, 求 23 ab 的最小值常用乘积进而用基本不等式解答. 2.（2020 安徽卷理）若不等式组 0 34 34 x xy xy 所表示的平面区域被直线 4 3 ykx分为面 积相等的两部分，则k的值是 A. 7 3 B. 3 7 C. 4 3 D. 3 4 答案 B 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC 由 34 34 xy xy 得 A（1，1） ，又 B（0，4） ，C（0， 4 3 ） S ABC= 144 (4) 1 233 ，设ykx与34xy的 交点为 D，则由 12 23 BCD SS ABC 知 1 2 D x ， 5 2 D y 5147 , 2233 kk选 A。 3.（2020 安徽卷文）不等式组 所表示的平面区域的面积等于 A. 2 3 B. 3 2 C. 3 4 D. 4 3 解析 由 340 340 xy xy 可得(1,1)C，故S阴 阴 = 14 23 c ABx ，选 C。 答案 C 4.（2020 四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨， B 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是 A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元 答案 D 解析 设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系： A x D y C O y=kx+ 4 3 （3，4） （0，6） O （，0） 3 13 y x9 13 A 原 料 B 原 料 甲产品x吨 3x 2x 乙产品 y吨 y 3y 则有： 1832 133 0 0 yx yx y x 目标函数yxz35 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： 当x3，y5 时可获得最大利润为 27 万元，故选 D 5.（2020 宁夏海南卷理）设 x,y 满足 24 1, 22 xy xyzxy xy 则 A.有最小值 2，最大值 3 B.有最小值 2，无最大值 C.有最大值 3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值 答案 B 解析 画出可行域可知，当zxy过点（2，0）时， min 2z，但无最大值。选 B. 6.（2020 宁夏海南卷文）设, x y满足 24, 1, 22, xy xy xy 则zxy A.有最小值 2，最大值 3 B.有最小值 2，无最大值 C.有最大值 3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值 答案 B 解析 画出不等式表示的平面区域，如右图，由 zxy，得 yxz，令 z0，画出 yx 的图象，当它的平行线经过 A（2,0）时，z 取得最小值，最小值为：z2，无最大 值，故选.B 7.(2020 湖南卷理)已知 D 是由不等式组 20 30 xy xy ，所确定的平面区域，则圆 22 4xy 在区域 D 内 的弧长为 B A . 4 B. 2 C. 3 4 D. 3 2 答案 B 解析 解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率 分别是 1 , 2 1 3 ，所以圆心角即为两直线的所成夹角，所以 11 |()| 23 tan1 11 1| 23 （） ，所 以 4 ，而圆的半径是 2，所以弧长是 2 ，故选 B 现。 8.（2020 天津卷理）设变量 x，y 满足约束条件： 3 1 23 xy xy xy .则目标函数 z=2x+3y 的最小 值为 A.6 B.7 C.8 D.23 答案 B 【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。 解析 画出不等式 3 1 23 xy xy xy 表示的可行域，如右图， 让目标函数表示直线 33 2zx y 在可行域上平移，知在点 B 自目标函数取到最小值，解方 程组 32 3 yx yx 得)1 , 2(，所以734 min z，故选择 B。 8 6 4 2 -2 -4 -15-10-551015 2x-y=3 x-y=1 x+y=3 q x = -2x 3 +7 h x = 2x-3 g x = x+1 f x = -x+3 A B 9.（2020 四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万 元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是 A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元 答案 D 【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。 （同文 10） 解析 设甲、乙种两种产品各需生产x、y吨，可使利润z最大，故本题即 已知约束条件 0 0 1832 133 y x yx yx ，求目标函数yxz35 的最大 值，可求出最优解为 4 3 y x ，故271215 max z，故选 择 D。 10.（2020 福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组 10 10 10 xy x axy （为常数）所表 示的平面区域内的面积等于 2，则a的值为 A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 答案答案 D D 解析解析 如图可得黄色即为满足010101yaxyxx的可行域，而与 的直线恒过（0，1） ，故看作直线绕点（0，1）旋转，当 a=-5 时，则可行域不是一个封 闭区域，当 a=1 时，面积是 1；a=2 时，面积是 2 3 ；当 a=3 时，面积恰好为 2，故选 D. 二、填空题 11.（2020 浙江理）若实数, x y满足不等式组 2, 24, 0, xy xy xy 则23xy的最小值是 答案 4 解析 通过画出其线性规划，可知直线 2 3 yxZ 过点2,0时，min234xy 12.（2020 浙江卷文）若实数, x y满足不等式组 2, 24, 0, xy xy xy 则23xy的最小 是 【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的考查既体现了正确画线性 区域的要求，也体现了线性目标函数最值求解的要求 解析 通过画出其线性规划，可知直线 2 3 yxZ 过点2,0时，min234xy 13.（2020 北京文）若实数, x y满足 20, 4, 5, xy x x 则sxy的最大值为 . 答案 9 解析：本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查. 如图，当4,5xy时， 459sxy为最大值. 故应填 9. 14.（2020 北京卷理）若实数, x y满足 20 4 5 xy x y 则syx的最小值为_. 答案 6 解析 本题主要考查线性规划方面 的基础知. 属于基础知识、基本运算 的考查. 如图，当4,2xy 时， 246syx 为最小值. 故应填6. 15.(2020 山东卷理)不等式0212xx的解集为 . 答案 | 11xx 解析 原不等式等价于不等式组 2 21 (2)0 x xx 或 1 2 2 21 (2)0 x xx 或 1 2 (21)(2)0 x xx 不等式组无解,由得 1 1 2 x,由得 1 1 2 x ,综上 得11x ,所以原不等式的解集为 | 11xx . 16