高中数学 第七章 解析几何初步 7.3 圆与方程中的数学思想素材 湘教版必修3（通用）

圆与方程中的数学思想圆与方程是高中数学解析几何的一个基础内容，在历年的高考中占有一席之地。本文就圆与方程中的数学思想在解题中的运用展开讨论，供同学们参考。1函数与方程思想函数与方程思想在圆与方程中应用最广泛,求圆的方程，求直线与圆的交点，求圆与圆的交点等等都要运用到函数与方程的数学思想.例1设圆满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1在满足条件、的所有圆中，求圆心到直线1：x2y=0的距离最小的圆的方程分析：本题给出了二个条件，我们需要把二个条件转化为代数式，然后联立方程。解:设圆的圆心坐标为P（a，b），半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|，|a|由题设知圆P截x轴所得劣弧的圆心角为90，于是圆P截x轴所得的弦长为，故又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有从而得点P（a，b）到直线x2y=0的距离为所以，当且仅当a=b时上式取等号，此时，从而d取得最小值由此有解此方程组得或由知，故所求圆的方程是，或点评:本题是一道较为复杂的综合题,既要用到函数的最值求法,又要解方程组.一般情况下同学们对于复杂的方程组缺乏信心,因些解方程组时一定要先找好突破口,以免花费太多时间.2对称思想圆既是中心对称图形,又是轴对称图形,对称的数学思想在圆中有着淋漓尽致的体现.解对称问题要把握对称的实质,结合几何图形来解题.例2已知，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是（）ABCD分析：如果把M，N看成圆上的动点，设出坐标，则本题变得特别复杂。所以，我们要考虑圆的对称性，把点到圆上的点的距离转化为点到圆心的距离来求解，减少未知量解:由几何知识可知（三角形的性质）,|PN|,|PM|要取到最值,必过圆心.不妨设两圆的圆心分别为A,B,因此,原题转化为在直线上找一个点P,使最大.由例1可知,只需作点B关于直线的对称点B,显然B的坐标是(1,0),从而原点即为要求的点.故的最大值为,选D点评：善于利用圆的对称性，是本题解题的关键所在。3数形结合思想数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性，形象性，使问题化难为易，化抽象为具体.例3已知，若，求的取值范围.分析：集合M是一条直线的点的集合，集合N是一个半圆上的点的集合，故可以从图像上考虑直线与圆的交点问题。解：集合是斜率为1，在轴上的截距为的一束平行线，集合是以原点为圆心，半径为3的圆在轴上方的部分（包括与轴的交点）.由题意作出图形，如图，当直线过时，.当直线与半圆相切时，由点到直线的距离公式得.，由图形易知，故，.点评：在涉及到半圆或圆的一部分的题目时，如果解方程是相当困难的，而应用数形结合来解则比较简单.4化归思想所谓转化思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易的问题，将未解决的问题变换转化为已解决的问题.例4求圆上的点到的最近、最远距离.分析：直接设圆上的点的坐标来求解，可以转化为三角函数的问题。但如果换一个角度，从几何图形的性质上来看，只需求出圆心到直线的距离即可轻松获解。解：由圆的方程易知圆心坐标为，半径.而到直线之距为.故圆上的点到直线的最远距离为，最近距离为.点评：凡是涉及与圆有