北京市师范大学附属中学2020届高三数学模拟试题（三）文（含解析）

北京市师范大学附属中学2020届高三数学模拟试题（三）文（含解析）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U=1，2，3，4，集合A=1，2，B=2，3，则U（AB）=（）A. 3，B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合解：A=1，2，B=2，3，AB=1，2，3，全集U=1，2，3，4，U（AB）=4故选D考点：交、并、补集的混合运算【此处有视频，请去附件查看】2.已知复数满足，则复数的共轭复数为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据复数模的计算公式先求出模长，再利用复数的除法可得.【详解】由，得z=，故选：C【点睛】本题主要考查复数的相关概念，模长求解，共轭复数以及复数运算等，题目虽小，知识点很是丰富.3.已知双曲线=1的一个焦点F的坐标为（-5，0），则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用焦点的坐标，将双曲线的方程求出来，再求出其渐近线方程.【详解】双曲线的一个焦点为由得，解得双曲线方程为：,双曲线的渐近线方程为.故选A项.【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的渐近线方程.属于简单题.4.设D为ABC所在平面内一点=3，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的基向量表示，把向目标向量靠拢即可.详解】如图，故选：D【点睛】本题主要考查平面向量基底向量的表示，侧重考查数学运算的核心素养.5.函数f（x）=sin（x+）（其中|）的图象如图所示，为了得到y=f（x）的图象，只需把y=sinx的图象上所有点（）A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】由，可求得其周期T，继而可求得，再利用函数的图象变换及可求得答案【详解】解：由图知，；又，又，为了得到的图象，则只要将的图象向左平移个单位长度故选：C【点睛】本题考查函数的图象变换，求得是关键，考查识图与运算能力，属于中档题6.已知正项等比数列an满足：a7=a6+2a5，若存在两项am、an，使得aman=16a12，则+的最小值为（）A. B. C. D. 不存在【答案】C【解析】【分析】利用等比数列的通项公式及条件，求出的关系式，结合均值定理可得.【详解】设正项等比数列an的公比为q，且q0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化简得，q2-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去），因为aman=16a12，所以=16a12，则qm+n-2=16，解得m+n=6，所以 .当且仅当时取等号，此时，解得，因为mn取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，验证可得，当m=2、n=4时，取最小值为，故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的运算及均值定理应用，均值定理使用时注意使用条件.7.剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用扇形知识先求出阴影部分的面积，结合几何概型求解方法可得概率.【详解】设圆的半径为r，如图所示，12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB的面积为所求的概率为P= 故选：B【点睛】本题主要考查几何概型的求解，侧重考查数学建模的核心素养.8.已知函数f（x）=，g（x）=-ex-1-lnx+a对任意的x11，3，x21，3恒有f（x1）g（x2）成立，则a的范围是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用导数求出，再解不等式即得解.【详解】由题得在1，3上单调递增，所以由题得，所以函数g（x）在1,3上单调递减，所以，由题得所以.故选：A【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若实数满足约束条件且目标函数z=x-y的最大值为2，则实数 _【答案】2【解析】分析】作出可行域，寻求目标函数取到最大值的点，求出m.【详解】先作出实数x，y满足约束条件 的可行域如图，目标函数z=x-y的最大值为2，由图象知z=2x-y经过平面区域的A时目标函数取得最大值2由，解得A（2，0），同时A（2，0）也在直线x+y-m=0上，2-m=0，则m=2，故答案为：2【点睛】本题主要考查线性规划，利用最值求解参数，作出可行域是求解的关键.10.已知函数，则=_【答案】【解析】【分析】先求内层函数值，再求外层函数值.【详解】根据题意，函数 ，则，则；故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数求值问题，分段函数的求值问题主要是利用“对号入座”策略.11.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为_【答案】808【解析】【分析】由甲社区抽取人数和总人数计算可得抽样比，从而可根据抽取的人数计算得到驾驶员总人数.【详解】由题意可得抽样比为：本题正确结果：【点睛】本题考查分层抽样中抽样比、总体数量的计算，属于基础题.12.已知首项与公比相等的等比数列an中，若m，nN*，满足，则的最小值为_【答案】1【解析】【分析】将写成等比数列基本量和的形式，由可得；从而利用，根据基本不等式求得结果.【详解】设等比数列公比为，则首项由得：则： 则（当且仅当，即时取等号）本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够根据等比数列各项之间的关系，通过等比数列基本量得到满足的等式，从而配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.13.在正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=+，则+=_【答案】【解析】【分析】根据平面向量定理，表示出，然后把转化到，利用，得到用和表示的式子，得到和的值.【详解】在中，为中点，所以，为中点，所以所以即，所以而所以故【点睛】本题考查向量平面定理的的表示，向量的加法、减法，向量共线的表示，属于中档题.14.已知直线l过点（1，1），过点P（-1，3）作直线ml，垂足为M，则点M到点Q（2，4）距离的取值范围为_【答案】【解析】【分析】先根据垂直关系得到点M的轨迹为一个圆，然后用|CQ|减去圆的半径得|MQ|的最小值，加上半径得|MQ|的最大值【详解】直线过定点设为A，则有A（1,1），设M（x，y），因为直线，则，所以，即，化简为：，所以，点M的轨迹为以C（0,2）为圆心为半径的圆，|CQ|2，|CQ|MQ|CQ|，即|MQ|3故答案为：，3.【点睛】一般和圆有关的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.等差数列an的前n项和为Sn，a2+a15=17，S10=55数列bn满足an=log2bn（1）求数列bn的通项公式；（2）若数列an+bn的前n项和Tn满足Tn=S32+18，求n的值【答案】（1）；（2）n=8【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式构建方程组，求出首项和公差，从而可得数列bn的通项公式；（2）利用分组求和法求出数列an+bn的前n项和，再求解n的值.【详解】（1）设等差数列an的公差为d，则有解得,则an=n又an=log2bn，即，所以（2）依题意得：Tn=（a1+a2+an）+（b1+b2+bn）=（1+2+3+n）+（2+22+23+2n）=又，则，因为在nN*上为单调递增函数，所以n=8【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算及分组求和法，构建方程组是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16.已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示（）求f（x）的解析式；（）若对于任意的x0，m，f（x）1恒成立，求m的最大值【答案】（I）（II）【解析】【分析】（）由图象可知，A2可求函数的周期，利用周期公式可求的值，又函数f（x）的图象经过点，可得，结合范围，可求，即可得解函数解析式；（）由x0，m，可得：，根据正弦函数的单调性，分类讨论即可得解m的最大值【详解】（）由图象可知，A2因为，所以T所以解得2又因为函数f（x）的图象经过点，所以解得又因为，所以所以 （）因为 x0，m，所以，当时，即时，f（x）单调递增，所以f（x）f（0）1，符合题意；当时，即时，f（x）单调递减，所以，符合题意；当时，即时，f（x）单调递减，所以，不符合题意；综上，若对于任意x0，m，有f（x）1恒成立，则必有，所以m的最大值是【点睛】本题主要考查了由yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题确定yAsin(x)b(A0，0)的步骤和方法：(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A，b；(2)求，确定函数的最小正周期T，则可得；(3)求，常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)特殊点法：确定值时，往往以寻找“最值点”为突破口具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时x；“最小值点”(即图象的“谷点”)时x.17.已知椭圆的离心率为，点在椭圆D上（1）求椭圆D的标准方程；（2）过y轴上一点E（0，t）且斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，设直线OA，OB（O为坐标原点）的斜率分别为kOA，kOB，若对任意实数k，存在2，4，使得kOA+kOB=k，求实数t的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据条件列方程组，解得，（2）利用坐标表示，设直线的方程，并与椭圆方程联立，由韦达定理代入化简可得，最后根据，解得的取值范围【详解】（1）椭圆的离心率，又点在椭圆上，得，椭圆标准方程为.（2）由题意得，直线的方程为，由，消元可得，设，则， ，由，得，即，又，.【点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，通常抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数性质的探求来使问题得以解决.18.已知某企业有职工5000人，其中男职工3500人，女职工1500人该企业为了丰富职工的业余生活，决定新建职工活动中心，为此，该企业工会采用分层抽样的方法，随机抽取了300名职工每周的平均运动时间（单位：h），汇总得到频率分布表（如表所示），并据此来估计该企业职工每周的运动时间：平均运动时间频数频率0，2）150.052，4）m0.24，6）450.156，8）7550.258，10）900.310，12）pn合计3001（1）求抽取的女职工的人数；（2）根据频率分布表，求出m、n、p的值，完成如图所示的频率分布直方图，并估计该企业职工每周的平均运动时间不低于4h的概率；男职工女职工总计平均运动时间低于4h平均运动时间不低于4h总计若在样本数据中，有60名女职工每周的平均运动时间不低于4h，请完成以下22列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“该企业职工毎周的平均运动时间不低于4h与性别有关”附：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2k0）0.250.150.100.050.025k01.3232.0722.7063.8415.024【答案】（1）90；（2），见解析有以上的把握认为“该企业职工毎周的平均运动时间不低于与性别有关”.【解析】【分析】（1）直接由分层抽样中每层所占比例相等求得抽取的女职工的人数；（2）由图表数据及频率和为1求得n，然后依次求p与m的值，并完成频率分布直方图；填写22列联表，再由公式求得K2，则结论可求【详解】（1）抽取的女职工的人数为；（2），；直方图如图：估计该企业职工每周的平均运动时间不低于的概率为：；列联表如图：男职工女职工总计平均运动时间低于453075平均运动时间不低于16560225总计21090300 .有以上的把握认为“该企业职工毎周的平均运动时间不低于与性别有关”【点睛】本题考查独立性检验，考查由频率分布直方图求概率的估计值，考查计算能力，是中档题19.如图，在四棱锥P-ABCD中，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60，PA平面ABCD，PA=2，AB=1设M，N分别为PD，AD的中点（1）求证：平面CMN平面PAB；（2）求三棱锥P-ABM的体积【答案】（1）证明见解析 （2）三棱锥的体积【解析】试题分析：（1）由中位线定理可得 平面. 再证得平面平面平面； （2）由（1）知，平面平面点到平面的距离等于点到平面的距离.试题解析：（1）证明：分别为的中点，则. 又平面，平面，平面. 在中，.又， .平面，平面，平面. 又， 平面平