辽宁省鞍山市2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）

辽宁省鞍山市2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）第I卷（选择题共60分）一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求解出集合，根据交集定义求得结果.【详解】 本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据和的符号确定；利用同角三角函数的平方关系求出结果.【详解】且 本题正确选项：【点睛】本题考查同角三角函数值的求解问题，关键是需要确定三角函数的符号.3.已知命题，则是（ ）A. ，B. ，.C. ，D. ，.【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题，得到结果.【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可得，本题正确选项：【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.4.一个正方体的表面积等于，则该正方体的内切球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据正方体表面积求出棱长，从而得到内切球半径，代入球的体积公式求得结果.【详解】设正方体棱长为，则 正方体内切球半径为棱长的一半，即体积本题正确选项：【点睛】本题考查球的表面积公式和体积公式的应用，关键是明确正方体内切球半径为正方体棱长的一半.5.已知非零向量，那么“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别判断是否成立，从而得到结论.【详解】由得： 可知“”是“”的充分条件；当时，时， 不一定相等可知“”是“”的不必要条件本题正确选项：【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，属于基础题.6.已知向量，向量，且，则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】用坐标表示出，利用向量平行的充要条件构造方程求得结果.【详解】由题意得： 本题正确选项：【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量平行的充要条件的应用，属于基础题.7.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，所得图象对应的函数解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据横坐标伸缩变换原则将变为原来的；再根据左右平移的方法得到结果.【详解】横坐标伸长倍变为：向右平移个单位变为：即所得函数解析式为：本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数的伸缩变换和平移变换，关键是明确横坐标的伸缩变换和左右平移变换都作用于本身，属于基础题.8.函数（，）在上是减函数，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复合函数单调性可判断出；根据定义域得到时，从而得到，进而求得的范围.【详解】 在上单调递减由复合函数单调性可知：在上单调递增 由定义域可知：当时， 综上所述：本题正确选项：【点睛】本题考查利用对数型复合函数的定义域和单调性求解参数范围问题，易错点是容易忽略定义域的要求，需要注意的是求解时，临界值能否取得的问题.9.当时，不等式有解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将问题转变为，利用基本不等式求解出，从而得到结果.【详解】不等式有解，即 当且仅当，即时取等号本题正确选项：【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够将问题转变为与的最小值之间的比较，并通过配凑的方式得到符合基本不等式的形式.10.已知函数的图象如图所示，则函数的图象为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的图象，可得a，b的范围，结合指数函数的性质，即可得函数的图象.【详解】解：通过函数的图象可知：，当时，可得，即函数是递增函数；排除C，D当时，可得，故选：A【点睛】本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题.11.已知平面向量，满足，且，为的外心，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】根据向量垂直和模长关系可知为等腰直角三角形，从而得为中点，将利用线性运算和数量积运算化为，求出模长和夹角即可代入求得结果.【详解】 ，又 为等腰直角三角形为的外心 为中点且 本题正确选项：【点睛】本题考查向量的数量积运算问题，关键是能够通过线性运算将问题转化成与相关的问题的求解.12.定义在R上的函数满足，当时，则函数在上的零点个数是（ ）A. 504B. 505C. 1008D. 1009【答案】B【解析】试题分析：由得，所以，即是以8为周期的周期函数，当时，有两个零点2和4，当时，无零点，因此在上函数有个零点，又，因此有上，有个零点故选B考点：周期函数，函数的零点【名师点睛】函数的周期性在解函数问题时有许多应用如本题求在区间上的零点个数，如求值等涉及的区间较大，求函数值的个数较多等时，一般要考虑函数有没有周期性，如是周期函数，只要研究函数在一个周期内的情形就可得出结论在解题时要注意所求区间的端点是否满足题意，否则易出错第卷（非选择题共90分）二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分.13._.【答案】4【解析】【分析】根据对数运算法则化简求值即可.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查对数运算的性质，属于基础题.14.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲不输的概率是，则甲赢的概率为_.【答案】【解析】【分析】根据互斥事件的概率的运算，求解即可求得结果.【详解】记事件为两人下成和棋，则事件为甲赢棋，则本题正确结果：【点睛】本题考查互斥事件的概率运算问题，属于基础题.15.设，表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题：若，且.则；若，且.则；若，则；若，且，则.其中正确命题的序号是_.【答案】【解析】【分析】在正方体中可找到的反例，可知错误；根据线面垂直的判定定理可证得正确；根据线面平行的性质定理可证得正确.【详解】，则内必有两条相交直线垂直于；又，则两条相交直线必垂直于，则，可知正确；在上图所示的正方体中，平面，此时平面，可知错误；在上图所示的正方体中，平面平面，平面平面，平面平面，此时相交，可知错误；，则又， 又， ，可知正确.本题正确结果：【点睛】本题考查空间中直线、平面之间的位置关系，考查学生对平行和垂直定理的掌握，属于基础题.16.已如函数（其中），若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据奇偶性的定义判断出为奇函数；再利用单调性的性质结合奇函数的性质可知在上单调递增；利用奇偶性和单调性将问题转化为对任意恒成立，通过分离变量可知，求解最小值可得到结果.【详解】当时，即为上的奇函数当时，单调递增，则单调递增，又单调递增上单调递增由奇函数对称性可知，在上单调递增可化为即对任意恒成立即对任意恒成立当时， 本题正确结果：【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的判断和综合应用，关键是能够利用函数性质将问题转化为自变量之间的关系，从而利用分离变量法解决恒成立问题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数 的最小正周期为，且其图象关于直线对称.（1）求和的值；（2）若，求的值.【答案】（1）,；（2）.【解析】【分析】（1）根据周期求得；利用对称轴求得，根据的范围得到结果；（2）将代入解析式可求得；利用诱导公式可得，从而求得结果.【详解】（1） ， ，又 （2）由（1）知： 【点睛】本题考查利用周期和对称轴求解三角函数解析式、诱导公式化简求值问题，属于基础题.18.已知向量与向量的夹角为45，其中，.（1）求的值；（2）若向量与夹角是锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用，根据数量积的运算法则代入求解得到结果；（2）根据数量积符号与夹角的关系可得，利用数量积运算法则整理为：；且与不能同向共线，即，；解不等式得到结果.【详解】（1）（2）与的夹角是锐角，且与不能同向共线且， 或【点睛】本题考查向量模长的求解、向量数量积与夹角之间的关系，易错点是夹角为锐角时得到数量积大于零，但忽略了两向量同向共线的情况.19.如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】【分析】（1）通过中位线证得，根据线面平行的判定定理证得结论；（2）由线面垂直性质得，再根据正方形得，根据线面垂直的判定定理证得结论；（3）利用体积桥可知，根据公式求解出即可.【详解】（1）连接为正方形，则为中点在中，分别为中点 又平面，平面平面（2）平面，平面 又为正方形 又平面，平面，平面（3）由题意知：，又 点到面的距离为【点睛】本题考查线面平行关系、线面垂直关系证明，三棱锥体积的求解，考查学生对于直线与平面位置关系涉及到的定理的掌握情况.求解三棱锥体积时，常采用体积桥的方式进行转化.20.已知某中学共有高一学生800人.在一次数学与地理的水平测试则试后，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样分析，先将800人按001，002，800进行编号.（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号；（下面摘取了随机数表的第7行到第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54（2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：人数数学优秀良好及格地理优秀7205良好9186及格4成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的人数共有.若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求，的值：在地理成绩及格的学生中，已知，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率.【答案】（1）785，667,199；（2），；.【解析】【分析】（1）根据随机数表法抽取原则即可得到结果；（2）数学优秀的频数可算出，列方程求出，再根据总人数为解出；列出所有的基本事件，在其中找到符合题意的基本事件个数，利用古典概型求得结果.【详解】（1）第行第列开始，每三个数字为一组，去除超过的编号，可得取出的三个编号为：，（2）数学成绩优秀率为 数学优秀的人为人，解得：又，解得：设事件为“在地理成绩及格的学生中，数学成绩优秀的人数比及格的人数少”共个基本事件事件包含，共个基本事件【点睛】本题考查简单随机抽样中的随机数表法、频数的求解、古典概型问题，属于基础题.21.已知向量，向量.（1）求向量在向量方向上正射影的数量：（2）设函数，求的单调递增区间；若关于的方程在上有两个不同解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）单调递增区间为.【解析】【分析】（1）利用正射影的数量公式直接求解即可；（2）将整理为；将放入的单调递减区间中，可求得的范围，在中截取符合范围的即可；根据单调性可求得函数的最值和区间端点值，从而找到符合题意的范围.【详解】（1）由题意得：（2）由，得，当时，得，又因为故的单调递增区间为当时，的最小值为，由知在上为减函数，在上为增函数，且，故当，即时，方程在上有两个不同解，即所求实数的取值范围为【点睛】本题考查向量射影数量的求解、正弦型函数单调区间的求解、根据方程解得数量求解参数范围问题.解决解的问题的常用方法是通过数形结合，即根据函数的单调性、最值、区间端点值找到符合题意的范围.22.对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数 .（1）当，时，求函数的不动点；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围.【答案】（1）1、4为的不动点；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据不动点定义得到方程，解方程求得结果；（2）将问题转化为恒有两个不等实根，利用判别式